Bochner-Riesz平均相关问题研究

Bochner-Riesz means is always the core issue in harmonic analysi. This project is aimed to study the problems related to Bochner-Riesz means, and the study about the singular sets in Landau-De Gennes theory in liquid crystal equation..1. There are also some open questions about almost everywhere convergence of Bochner-Riesz means. We focus this problem, and consider the Hausdorff dimension estimates of the divergence sets of the Bochner-Riesz means..2. The almost everywhere convergence of fractioanl Schrodinger equation and Hermit-Schrodinger equation. Also we consider the Hausdorff dimension estimates for the divergence sets..3. Endpoint Strichartz estimats for radial function or functions with angular regularity..4. The study for the singular sets from the Landau-De Gennes theory. We consider the profile near singular point and the approximate properties for the singular sets.

Bochner-Riesz平均一直是调和分析中的核心问题。本项目旨在研究Bochner-Riesz平均的相关问题，和液晶的Landau-De Gennes理论中奇点集的研究。.1. Bochner-Riesz平均的几乎处处收敛还有公开的未解决的问题，我们重在本原问题，同时考虑发散点集的Hausdorff维数估计.2. 分数阶Schrodinger方程的高维几乎处处收敛性，Hermit-Schrodinger方程的高维几乎处处收敛性. 以及各自发散点集的Hausdorff维数估计.3. Strichartz估计的端点问题，包括径向函数与带有角度正则的情况.4. 液晶的Landau-De Gennes理论中的缺陷构型和奇点的渐进行为研究

本项目完成了二十多篇的高质量学术论文。.在Du-Guth-LI在Annals的工作基础上，考虑了当$f$的正则性提升时，算子的收敛速度。利用多项式划分和改进的Strichartz估计得到对于p>2，Schroedinger极大函数的sharp Lp估计的部分结果。同时也考虑了相关的问题，同时也考虑了调和分析相关的模空间上的问题。给出了τ-Wigner分布从加权模空间到加权调制空间和amalgam空间的有界性的几个更一般的刻画。成果发表在Jour. Funct. Anal.，IMRN, Illinois Journal Math., Bull. Aust. Math. Soc., Michigan Math. J., Proc. Amer. Math. Soc., Science China Mathematics., Acta Math. Sinic., Frontiers of Mathematics in China. 等期刊上。王伟和其合作者严格地证明了关于液晶的Qian-ShengQ张量模型和全埃里克森-莱斯利模型的关系。利用Hilbert展开法，证明了当弹性系数趋于零时（也称为单轴压缩） Qian-Sheng惯性模型的解将收敛到全埃里克森——莱斯利系统的解，成果发表在SIAM Math. Anal.上。对于不可压磁流体方程的Liouville定理的系列工作发标在 J. Math. Phys.上。.本项目组织了一系列学术报告和学术会议。包括章志飞关于流体力学方面成果的系列报告，范大山老师关于沿曲线的振荡积分的系列报告，陈杰诚老师关于函数空间以及算子的系列报告，张瑞祥，王虹等人的关于最近几年关于局部光滑性猜测，Fourier限制定理的猜测，丁勇，胡国恩，燕敦验老师等的调和分析调和分析讨论班。通过学习受邀专家的报告，同行之间深入探讨几何、分析与微分方程之间的交叉问题，发挥各自领域的优势，开阔项目组人员的知识面。通过项目执行年度充分的学术交流，对我们在学术研究上取得突破产生了很好的作用。