对Dunkl理论中Cesaro平均和Bochner-Riesz平均收敛性的一些研究

This project consists of two closely related parts: Cesaro summability of the spherical h-harmonic expansions on the unit sphere and Bochner-Riesz summability of the inverse Dunkl transforms on d-dimensional real space, both being studied with respect to the Dunkl weight function, which is invariant under a reflection Abelian group in Dunkl analysis...In the first part, we want to study the weak type estimate of the maximal Cesaro operator of the spherical h-harmonics at the critical index. This allows us to improve several known results on spherical h-harmonics, including the almost everywhere convergence of the Cesaro means at the critical index, the sufficient conditions in the Marcinkiewitcz multiplier theorem, and a Fefferman-Stein type inequality for the Cesaro operators...In the second part, we want to study the critical index for the almost everywhere convergence of the Bochner-Riesz mean in weighted Lp-space with p>2. Some problems in our project in Dunkl theory are highly nontrivial since the underlying weighted space is not translation invariant.

本项目包含两个联系紧密的科研问题：单位球面上加权正交多项式展开的Cesaro平均以及d维实数空间上Dunkl变换的Bochner-Riesz平均。在这两部课题的研究中，我们均选取一类在有限反射群下作用下保持不变的函数作为权函数。. 在第一部分中，我们希望通过对球面上加权正交多项式展开Cesaro极大算子弱型不等式的研究，将球面上的Dunkl理论中的诸多现有结论进行推广。诸如Marcinkiewitcz乘子定理和Cesaro算子的Fefferman-Stein不等式。. 在第二部分中，我们希望针对p>2的情形，进一步研究Lp-空间上Dunkl变换Bochner-Riesz几乎处处收敛问题。这一部分中某些问题是富有挑战性的，因为我们所考虑的权函数不具备平移不变性。

在本课题的研究过程中，我们解决了加权 L^p-函数 Dunkl 变换 Bochner-Riesz 平均的几乎处处收敛性成立条件的问题。.我们通过进一步改善了对 Bochner-Riesz 平均核函数的估计，证明了当 p≥2 且 δ>max{0,δ_k (p)} 时，加权 L^p-函数 Dunkl 变换 Bochner-Riesz 平均的几乎处处收敛性成立。. 我们的结论蕴含了在不加权的情形下，当 p≥2+4/(d-1) 且 δ>max{0,δ_k (p)} 时，经典 Fourier 变换 Bochner-Riesz 平均几乎处处收敛性对一切 L^p-函数成立。而这个结论与 A.Carbery, L.Rubio De Francia 和 L.Vega 在的1988年发表的文章中给出关于的 Fourier 变化 Bochner-Riesz 平均几乎处处收敛性成立的条件完全吻合。这说明我们所得到的结果可以作为经典 Fourier 变换 Bochner-Riesz 平均几乎处处收敛性结果的推广。. 我们所得到的结果已于2020年9月发表在了 Annals of Functional Analysis 杂志上。.除此之外，在项目基金的支持下，我先后三次在国内外学术会议上做了报告，并指导了6名硕士研究生，其中3名目前已经拿到了硕士学位。