非线性分析在若干椭圆方程和种群模型中的应用

Methods from nonlinear analysis such as bifurcation analysis and Morse index, are applied to Lane-Emden and Henon type equations and systems. The existence of entire solutions, symmetry, classification according to Morse index are to be investigated, supercritical or not. The existence of singular and nonsingular solutions in bounded domains such as balls and annuli, symmetry, Morse index, singular sets and symmetry-breaking are also to be studied...Methods from nonlinear analysis such as bifurcation analysis and monotone method are also applied to several nonlocal and singular partial differential equation models from ecology. The existence, uniqueness, stability, multiplicity of solutions, structure of the solution set and the existence of periodic solutions are to be studied, as well as the multiplicity produced by the inhomogenity of the diffusion coefficients.

利用非线性泛函分析工具如分岐、Morse 指标理论对 Lane-Emden 方程（组） 及其 Henon 形式进行研究：方程 （组）在次临界和超临界情形下整体解的存在性， 对称性， 按照 Morse 指标进行的分类；方程 （组）在特殊区域如球域、环域上正则和奇异解的存在性， 对称性， Morse 指标，解的对称破裂，奇点集合的大小估计等。..利用非线性泛函分析工具如分岐、单调方法对生态模型中产生的几类非局部和退化的方程和方程组进行分析：标量方程稳态正解的存在性，唯一性，稳定性， 多解， 解集合的结构， 方程周期解的存在性； 方程组解的分支结构，解的稳定性，由方程的扩散系数的不均匀而产生的多解问题等。

我们用非线性分析和偏微分方程的理论和技巧研究了超临界椭圆型方程和方程组的分类问题，对于一些重要的带各种奇性和非局部性的方程和方程组正解的单调性，对称性和正则性，解集的分支结构等作了细致的研究，得到了一些有意义的结果。对Lane-Emden方程组和其加权形式解的分类问题做了一些探索，得到了一些结果。我们利用分支方法、Liapunov约化和非局部特征值方法研究了Turing系统图斑解的存在性、稳定性，作出了许多有意义的研究结果，特别地我们发展了研究Turing反应扩散方程组从斑图解出发的Hopf分支及其稳定性的系统研究方法。我们发展了带有非齐次边界条件的Turing反应扩散方程组的斑图解的研究，开始了一个新的研究方向。