一般阶非线性椭圆方程中若干问题的研究

In this program, we mainly consider the existence of solutions to nonlinear elliptic equations of general order. More precisely, we shall study nonlinear Dirac equations (for example, non-autonomous Dirac-Fock equations and Eistein-Dirac-Maxwell system, etc. ) and nonlinear equations with fractional Laplacian (for example, fractional Yamabe problem, prescribing Q_{\gamma} curvature problem, etc.). Our main tools include variational methods, infinite dimensional Lyapunov-Schmidt reduction, perturbationmethods, the theory of pseudo-differential operators and singular integral operators, partial differential equations theory. These problems we focus on are very important not only in elliptic equations, but also in mathematical directions including general PDE theory, nonlinear analysis, differential geometry and other sciences such as quantum theory, diffusion theory and finance, et al.

本项目主要研究几类一般阶（尤其是非二阶）非线性椭圆方程解的存在性。具体地，我们将研究非线性Dirac方程（如非自治Dirac-Focks方程组、Einstein-Dirac-Maxwell系统等）极小能量解的存在性，以及含有分数阶Laplacian的非线性方程（如分数阶Yamabe问题，预解Q_{\gamma}曲率问题等）解的存在性。我们主要的研究工具是变分法、无穷维Lyapunov-Schmidt约化、椭圆算子及其扰动理论、拟微分算子及奇异积分算子理论等。项目中研究的这几类问题不仅是非二阶椭圆方程研究中的典型问题，而且在一般偏微分方程、非线性分析、微分几何等其他数学方向，量子力学、扩散理论、数理经济等其他科学领域中也具有重要的意义。

我们对研究计划中提出的几何、物理中的若干一般阶的非线性椭圆方程解的存在性、多重性、非退化性、集中性等基本性质进行研究。具体主要研究了整个空间上的具有光滑势非线性分数阶Schrodinger方程的半经典解的存在性和多重性；具有奇异势分数阶Schrodinger方程解的存在性，正则性和对称性；有界区域上分数阶Schrodinger方程的Neumann问题解的存在性等问题；以及一般维空间上Hartree方程基态解的非退化性，和相应的奇异扰动方程半经典解的存在性与多重性。