具有阻尼和非线性源项薄壳系统解的爆破和衰减

Study on the solutions of thin shells is an important branch in distributed parameter systems. This project will study the blow-up and the decay of the solutions to the initial and boundary value problems of thin shells with a middle surface of any shape, which are acted by the damping and nonlinear source terms in the equations or the boundaries. In the framework of differential geometry, we discuss the equations of vibration of thin shells, and influence on the solutions led by the damping and nonlinear source terms. The semi-group and Galerkin method are used to study the existence of the solutions to the initial and boundary value problems of thin shells. We will give the conditions for the existence of the solutions. By Riemannian geometry method, the theory of potential well and functional analysis, we make estimates to the solutions of the systems and obtain the conditions for the blow-up of the solutions and upper bounds of blow-up times. As the solutions exist globally, we estimate the energy of the systems and present the decay rate of the energy. At last, we study that how the function of stored energy and external pressure result in the blow-up or decay when the thin shells are full nonlinear. And we get the conditions for the function of stored energy under which the solutions blow up or decay. The results of this project will provide theoretical guidance for related problems in science and technology.

薄壳解的性态研究是分布参数系统中的一个重要研究分支。本项目拟研究带有阻尼和非线性源项的中面为任意形状曲面薄壳的初边值问题解的性态，主要研究阻尼和非线性源项在内部或边界情形下系统解的爆破和衰减性。在微分几何的框架下考虑薄壳的振动方程、阻尼项和非线性源项对解的影响，应用半群、伽辽金方法等研究薄壳初边值问题解的存在性，给出解存在的条件；应用黎曼几何方法、势阱理论、泛函分析等方法对系统的解进行估计，获得解爆破的条件，并对爆破时刻的上界进行估计；当解全局存在时，对系统的能量进行估计，获得能量的衰减率；最后研究薄壳为完全非线性时，储能函数和外部压强对系统解的影响，给出系统的解爆破或衰减时，储能函数应满足的条件。本项目获得的结果将对相应的科学工程技术问题提供理论指导。

项目研究了薄壳方程和波方程解的性态。薄壳方程和波方程可以描述中面为任意形状曲面薄壳等一些弹性体的振动，这些振动是常见的自然现象，也在工程技术中经常出现，如桥梁、弦、膜等的振动。研究这些方程解有重要的科学意义和应用价值。. 项目主要研究了带有非线性阻尼和非线性源项薄壳方程和波方程解的存在性和衰减性等性态，以及控制系统的镇定和追踪问题。获得了带有非线性阻尼和非线性源项薄壳全局解的不存在性，全局解存在且系统能量衰减的条件。在模型中空间区域的部分边界为柔性的薄壳结构，且忽略切平面上的伸张变化时，应用黎曼几何方法获得带有非线性阻尼的声腔模型系统的一致能量衰减率。应用能量扰动方法得到了带有非线性阻尼和非线性源项拟线性波方程全局解的不存在性和解在有限时刻爆破的条件。应用傅里叶变换和乘子方法得到了带有结构阻尼的弹性系统能量的衰减率，进一步给出了总能量的最优衰减估计。得到了带有非线性源项的三维不可压Navier-Stokes 方程弱解的衰减性，强解的渐近稳定性结果。进一步研究了输入带干扰的控制系统的镇定问题和非同位控制系统的输出追踪问题，将自抗扰控制推广到了无穷维系统，提出轨道规划的方法来处理输出追踪问题。项目获得的结果对相应的工程技术问题起理论指导作用