可积系统及其在微分几何中的若干应用

可积性系统作为数学和物理中多分支交叉的领域，其在微分几何有着越来越广阔和重要的应用，其中包括了经典微分几何里最有趣的常中曲率曲面（肥皂泡）和常负高斯曲率曲面（伪球面）。可积性系统背后隐藏的对称性常常大到要用无穷维李群李代数来表示。申请人长期致力于它们在高维及任意Kac-Moody李代数时的推广、构造和应用，成功解决了此领域两个长期公开的难题。本项目将具体研究三方面问题：1.探索高次椭圆系统对应的几何对象，计算B?cklund型变换，构造DPW型显式解，并探索这类几何对应的变分问题；2.系统研究规范群为任意紧单李群时的Ward方程的多孤子解，构造到该李群的所有有限uniton的调和映射，进一步探索更一般的自对偶Yang-Mills方程的特殊解；3.深入研究六维球面中一类近复环面的存在性问题，以此为经验系统研究孤立子子流形中其它环面的存在性问题，严格的澄清比较方程和自由参数个数的方法的有效性。

可积系统是数学物理多分支交叉领域，在微分几何有广阔重要应用，包括经典几何里的肥皂泡和伪球面。其背后隐藏的对称性常大到要用无穷维李群李代数来表示。本人长期致力于其在高维及任意Kac-Moody 李代数的推广、构造和应用，成功解决了此领域两个难题。本项目将研究三类问题：1.探索高次椭圆系统对应的几何对象，计算Bäcklund 型变换，构造DPW 型显式解，并探索这类几何对应的变分问题；2.系统研究规范群为任意紧单李群时的Ward 方程的特解，构造到该李群的所有有限uniton 的调和映射，进一步探索自对偶Yang-Mills 方程的特解；3.深入研究六维球面中近复环面的存在问题，以此为经验系统研究孤立子子流形中其它环面的存在性问题，严格澄清比较方程和自由参数个数的方法的有效性。..完成概述：第一类及第三类问题有多篇预印本投递或待发表中，已发表出来一篇，我们基本按照计划执行了。但第二类问题仍然在进展中，并做出了延后调整。这是因第一类问题的研究取得了重要突破(与Dorfmeister教授合作)后，我们立即将研究重点放在了定仿射球面的各种构造，以推广Loftin-Yau-Zaslow用特殊仿射球面构造镜像对称猜想例子的重要工作，这也是当前备受关注的前沿课题。而在香港访问后，与代数学家的交流也让本人将研究重点放在了推广Rossmann和Matsuki的奠基性工作到无穷维环群。第三类问题的进一步深入研究在宁波大学开会期间得到了Bobenko教授的关键指点，困扰我多年的构造性难题终于看到了成功的希望。香港科大访问中，本人和孟国武教授及其博士生白占强一起成功将带磁荷的开普勒问题推广到任意奇数维空间时的轨道给出了几何刻画。