含测量误差相依函数型数据的线性模型的统计推断及应用

Functional linear regression has always occupied a core position in the field of functional data analysis, and has attracted much attention in the past few decades. The standard assumption is that functional covariates from different subjects are independent. However, in fact, most of the functional data is dependent and contaminated by measurement error. Thus, the applicability of related results is restricted. The research object of this project is functional linear model with functional predictor that is dependent and contaminated by measurement error. In this project, we combine the theory and methods of functional data analysis, hypothesis testing, dimensionality reduction, etc., and focus on the research of covariance-based generalized method of moments, variable selection under dependent conditions, functional principal component analysis for dependent functional data, test statistics and other key technologies. On the basis of the above, we obtain sparse estimation, hypothesis testing, identification of significant influence subintervals and locally sparse estimation of the model. The research of this project will further improve the accuracy of the slope function estimation of the functional linear model, enhance the applicability and interpretability of the model, and enrich the studies of functional regression models, which will be also helpful to analyze the real problems in many application fields, such as biology, medical sciences, economics and geography.

函数型线性回归在函数型数据分析领域中一直占据着核心地位，因此函数型线性回归的研究在过去的几十年里备受关注。研究中通常假设函数型协变量的个体之间是独立的，但在实际中，经常遇到的是带有测量误差的相依函数型数据，因此相应的研究成果的适用性受限。本项目以带有测量误差的相依函数型线性模型为研究对象，结合函数型数据分析、假设检验、降维等方面的理论与方法，重点研究基于协方差技术的广义矩估计、相依情况下变量选择、相依函数型主成分分析、检验统计量等关键技术，实现带有测量误差的相依函数型线性模型的稀疏估计、假设检验及影响子区间的识别和局部稀疏估计。本项目的研究将进一步提高函数型线性模型斜率函数估计的精度，增强模型的适用性和可解释性，丰富函数型回归分析的研究，有助于分析在生物学、医药学、经济学、地理学等领域内遇到的实际问题。

函数型线性回归在函数型数据分析领域一直占据着核心地位。研究中通常假设函数型协变量的个体之间是独立的，但在实际中，经常遇到的是带有测量误差的相依函数型数据，且响应变量与函数型协变量之间的线性关系可能不成立，因此相应研究成果的适用性受限。本项目以带有测量误差的相依函数型线性模型与复杂函数型模型为主要研究对象，研究带有测量误差的相依函数型线性模型的参数估计、复杂函数型模型的统计推断和带有测量误差或者相依变量模型的统计推断问题。研究成果主要包括：对于带有测量误差的相依函数型线性模型，采用基于协方差技术的广义矩估计方法，充分利用相依信息且过滤测量误差的影响，并把该方法推广到函数型协变量是部分观测的情形，建立了估计量的渐近性质，通过统计模拟和实例分析研究展示了所提出估计方法的有限样本表现；结合函数型主成分分析、测量误差、缺失数据等方面的理论与方法，得到了多元函数型部分线性模型、具有缺失数据的相依函数型单指标模型和广义函数型单指标模型这三类复杂函数型模型的统计推断；对于具有相依响应变量的多元可加模型，构建信噪比(SNR)指标并执行基于SNR的向前滤波运算，筛选出重要变量，通过统计模拟和实例分析，表明该方法在灵敏度和特异性方面优于一些现有方法；对于带有测量误差的单指标异方差模型，提出了基于修正分位数损失函数的估计方法，并且证明了估计量的相合性和渐近正态性。最后通过统计模拟和实例分析研究展示了所提出估计方法的有限样本优良表现。本项目的研究将进一步增强模型的适用性和可解释性，丰富回归分析的研究，有助于分析在生物学、医药学、经济学、地理学等领域内遇到的实际问题。