几类函数型数据模型的统计推断方法

By virtue of fast developement of technology related with data collection, it is often the case in which curves or high frequency observations are collected in practice. Treating the curves as observations of random functions produces functional data analysis, which is recently becoming a hot research topic. In this project, we shall mainly focus on the inference of functional linear models and partly linear models. Specifically, we consider the following problems: (1) estimation for several functional models, including models with nonparametric components, such as varying-coefficient models, or semi-parametric components such as single index terms; (2) hypothesis tests for functional regression models, such as the shape of the effects of xplanatory variables in regression models, which is special for functional data. Furthermore, we shall combine various functional data, such as independent or dependent data, missing data with the inference of the models. Most of the problems are not trivail extension to the real or vector valued data, and many are conjugated with the characteristics of functional data, thus essentially interesting.

随着现代数据采集技术的迅猛发展，在许多实际问题中采集到曲线数据或者高频率观测数据。把这种类型的数据作为随机函数的观测值，导致了函数型数据分析，并成为近年来统计研究的热点领域。本项目即着眼于函数型线性和部分线性模型的统计推断。主要研究2个方面的问题：（1）几类模型下的估计问题，包括含非参分量（如变系数）或半参分量（如单指标分量）的模型下的估计问题；（2）几类函数型回归模型中的检验问题，如函数型自变量效应形状的检验，尤其是函数型数据特有的检验问题。在讨论上述两类问题时，还将结合不同类型的函数型数据，如独立观测值、非独立观测值、缺失数据情形等。这些问题并不都是数值型或向量型数据情形的推广，不少问题是与函数型数据特点相伴而生的，因而富有意趣.

本项目研究内容主要包含三个部分：独立数据下的若干检验问题，独立数据下几种函数型模型的估计问题，以及函数型线性模型的进一步推广。具体内容如下：. 在检验方面，取得如下成果：. A..对于取值于可分Hilbert 空间的随机元向量，定义了两个分量的角协方差，用以衡量二者的相依性。角协方差等于0当且仅当二者独立。基于对角协方差的估计，给出了一个比已有检验具有更高功效的独立性检验。检验适用于任何总体分布，可以视为Kendall tao的推广。. B..考虑E(Y|X)不依赖于X的检验，构造了基于再生核的依赖性度量KCMD(X,Y)，KCMD(X,Y)=0当且仅当E(Y|X)=E(Y)。基于这个度量构造的检验，不仅能够以较高功效识别常见的线性关系，而且对于已有方法不能识别的非线性关系也有相当的功效。KCMD检验也不需要对于X的高阶矩条件，因而有更宽广的使用范围。. C..在模型检验方面，发展了基于残差的非参数检验，给出了这些检验统计量的渐近零分布，证明了它们的相合性，及其在局部备择假设下的渐近功效。. D..构造了部分函数型线性模型中向量值协变量线性效应的检验和函数型二次模型中二次效应的检验，给出了检验统计量的渐近零分布，证明了检验的相合性，导出了在局部备择假设下检验统计量的分布。.. 在基于独立样本的估计方面，得到以下结果：. A..对于部分函数型线性模型，提出了其参数基于众数回归的稳健估计，得到了估计的最优收敛速度，证明了估计的逐点渐近正态性，并通过模拟验证了有效性。. B..对于单指标部分函数线性模型，基于样条逼近构造了指标系数、联系函数和斜率函数的估计，证明了指标系数估计的渐近正态性和联系函数估计、斜率函数估计的逐点渐近正态性。. C..对于函数型分位数回归模型，在完全观测样本下构造了二次分位数回归模型的估计，在部分观测函数型数据情形下构造了缺失部分得分的估计，并由此构造了线性回归模型的斜率函数的估计；给出了这些估计的最优收敛速度。.. 还把函数型线性模型的方法进行在不同类型响应如相依、有随机缺失、响应右删失、当前状态数据或二分取值的情形下的推广。