正规族与Schwarz-Pick引理及其应用

Normal families and Schwarz-Pick lemma with their applications are important research fields in complex analysis. We will mainly study the following problems in five filds. 1. Researching on the normality problem concerning semiduality or duality of a functional space; 2. researching on the normality problem concerning functions，their dirivatives and covering surfaces，which　is　similar　to　the 　crirerion obtaned　by Gu　Yongxing concerning functions omit a value and their derivatives omit a nonzero value；3. researching on a family of holomorphic functions in D, what kind of the family has the theorem of gongming(that is if the family is bounded at any point in D, then the family is uniformly locally bounded in D), what kind of family does not have the theorem of gongming ; 4. researching on the applications of the theory of normal families in determing whether the functional space is dual or semidual, the unicity problen of any two meromorphic functions and searching for the meromorphic solutions of a functional equations; 5. searching and setting up Schwarz-Pick lemma with higher-order between the unit ball and getting the estimate of partial derivativers, in the meanwhile, giving applications in the estimate of Bloch constant and in composition operators.

正规族与Schwarz-Pick引理及其应用是复分析里的重要研究内容。我们将主要做如下五个方面问题的研究：1. 研究与求函数空间的对偶空间相联系的正规族问题；2. 研究涉及函数、导函数与覆盖的正规族问题，它对应于顾永兴获得的涉及函数不取一个值、导函数不取值一个非零值的正规定则；3. 研究区域D内全纯函数族，具有什么性质的子族具有共鸣定理(即区域D内每一点都有界就有该族局部一致有界)，具有什么性质的子族共鸣定理不成立；4. 研究正规族在函数空间的对偶性与半对偶性的判定、两个任意函数的唯一性问题以及与求解函数方程的解的应用；5. 寻求和建立单位球之间的高阶Schwarz－Pick引理。并由此导出各阶偏导数的

本项目研究亚纯函数正规族理论、唯一性理论、Schwarz-Pick引理及其应用方面的若干重要问题。主要研究内容是涉及亚纯函数与导函数、函数空间、函数迭代等方面的正规族及其应用；研究亚纯函数唯一性、模分布及其应用；研究高阶Schwarz-Pick引理及高阶偏导数的估计等问题。从2014年1月到2017年12月的四年时间内，课题组共发表该项目的学术论文23篇， 其中被SCI收录论文7篇，数学学报等国内核心刊发表论文8篇。另外在中国科学英文版，Bull. Malays. Math. Sci. Soc，数学年刊英文版，数学学报各接受发表论文1篇。我们还获得了广东省科学技术奖自然科学二等奖1项。我们获得的主要成果如下：.1. 研究了双曲黎曼面上亚纯函数空间Q^{\#}_p的性质。我们主要研究了双曲黎曼面上亚纯函数空间Q^{\#}_p的嵌套性，这性质类似于亚纯函数空间Q_p的嵌套性性质。.2. 研究了与顾永兴定则相关的正规族问题。从函数的k阶导数不取非零常数或不恒为零的亚纯函数到分担非零常数或不恒为零的亚纯函数以及取非零常数或不恒为零的亚纯函数的个数限制问题；从不取一个非零常数或一个不恒为零的亚纯函数到不取一个不恒为零的亚纯函数序列作更加深入的研究。.3. 研究了与Hayman问题相关的正规族。深入研究f^nf^(k)与g^ng^(k}分担全纯函数h(z)并在全纯函数h(z)零点条件较少的情形下的正规定则；我们还研究了涉及例外函数的亚纯函数的正规定则，证明了若族中亚纯函数的微分多项式不取两个相互判别的全纯函数，则该函数族正规。探讨了亚纯函数族F中任意两个函数f和g分担函数的个数，f与其导数f’分担函数的个数及函数f的重值的个数三者之间的关系，给出了一个综合判定亚纯函数族正规的充分条件。.4. 研究与迭代和不动点相关的正规定则。我们考虑在函数具有不动点的情况下的亚纯函数族的正规性。.5. 研究了亚纯函数的涉及差分及位移的唯一性问题，解决了同行提出的公开问题。研究了f^{n}f’与g^{n}g’分担常数1情形下的唯一性定理，将分担1推广到分担有理函数的情形，获得了更广泛的一个唯一性定理。.6. 研究了亚纯函数差分的值分布，特别是将研究一个有穷级具有两个Borel例外值的超越亚纯函数的值分布问题推广为研究具有满亏量且无穷的亏量等于1的有穷级亚纯函数的差分的亏量关系。