亚纯函数正规族、正规函数与相关论题

本项目主要研究关系紧密的亚纯函数正规族理论，正规函数理论和唯一性理论。正规族理论是复分析的经典课题，由于新方法的产生使得目前对该课题的研究相当活跃，出现了许多有意义的新成果。我们将进一步地对与函数周期点、分担值或分担函数、例外值或更一般的重值或重函数相关的正规族理论及其应用展开研究，并研究单复变正规族的高维推广。根据Bloch原理，正规族通常与Picard型定理相对应。我们将利用正规族理论去获得新的Picard型定理。正规函数理论也是复分析的经典课题，由于正规函数通过正规族来定义，其与正规族的关系很紧密。然而判定正规函数的准则目前不多，因此进一步的研究很有必要，理论意义重大。亚纯函数唯一性理论也是复分析的重要分支，主要研究在分担值或分担函数等条件下亚纯函数的唯一性，目前成果已很丰富。我们将研究若干没有完全解决的重要问题，如Gross问题以及函数和两个高阶导数分担一个非零复数时的唯一性问题。

正规族理论不仅自身具有重要的理论意义，而且在复解析动力系统、亚纯函数的模分布与幅角分布、复微分方程理论、亚纯函数的唯一性理论等重要的复分析分支的研究中有着广泛而深刻的应用。因此，继续深入地研究正规族理论是非常值得去做的一件事。新的方法即Zalcman-庞方法的产生使得正规族理论的研究仍然相当活跃，出现了许多新的用传统方法很难得到的结果。然而还有许多重要且意义重大的问题尚待解决。..我们研究并且获得了新的亚纯函数正规族和拟正规族判定定则，并且将所得结果应用于亚纯函数模分布和唯一性理论等方面的研究。..1. 我们证明了一族导数不取1并且零点处导数值一致有界的亚纯函数族是一阶拟正规的，并且由此证明了德国数学家Bergweiler于2000年提出的猜想：全平面上零点处导数值一致有界的超越亚纯函数的导数取任何有穷非零复数无穷多次，以及导数只有有限个零点的超越亚纯函数有一列乘子无界的不动点。..2. 我们定义并研究了Bank-Laine型函数，研究了有限区域内Bank-Laine型函数族的正规性，获得了相应的正规定则和拟正规定则，并且由此证明了全平面上某些类型的超越Bank-Laine型函数的不存在性。..3. 对没有单零点和单极点并且导数不取一个给定全纯函数的不正规亚纯函数族做了分类，我们对这样的函数族所含有的不正规函数列的特征做了细致的刻画。..4.引入了点集局部一致离散的概念，并且由此研究了函数分担0导数分担一指定函数的亚纯函数族的正规性。..5. 对全平面上与k阶导数CM分担两个复数的亚纯函数唯一性定理给出了统一的证明。