一类分数阶薛定谔方程及相关问题的研究

Based on the actual background of fluid dynamics, American options in finance and so on, the research of solutions to nonlinear fractional Schrodinger equations has important practical significance and theoretical value. The study has been widely concerned by domestic and foreign scholars. By using the reduction method which needs to combine the theory of regularity and the prior estimate of elliptic equations, this project mainly study the existence of solutions, especially the existence of infinitely many solutions and multi-peak solutions, and the gradual behavior of the solutions for a class of nonlinear fractional Schrodinger equation and its related problems under some general conditions of potential function and nonlinearity. We wish to develop new method and new tool in nonlinear functional analysis by investigating this kind of nonlocal fractional problems.The issues discussed in this project related to mathematics, mechanics, physics and so on. So, the results obtained in this project will be helpful to study the related problems for these disciplines.

基于流体力学和金融领域现货期权等方面的实际背景，有关非线性分数阶薛定谔方程解的研究具有非常重要的实际意义和理论价值，得到国内外学者广泛关注。本项目拟应用约化方法结合椭圆方程中的正则性理论和先验估计重点研究一类分数阶Schrodinger方程及相关问题在位势函数和非线性项满足不同条件时解的存在性和解的渐近行为，尤其是无穷多解和多峰解的存在性。我们希望通过研究这类分数阶薛定谔方程问题发展出非线性泛函分析中的新的方法和工具。本项目讨论的问题涉及数学、力学、物理等学科，故所得成果将有助于这些学科相关问题的研究。

非线性分数阶的薛定谔方程是非线性偏微分方程中及其重要的一类方程，具有广泛的应用性，是流体力学中的基本数学模型，可用于描述非线性光学、金融领域现货期权等现象。因此对非线性分数阶的薛定谔方程的研究在数学物理中具有很重要的实际和理论价值。本项目主要研究了几类非局部的薛定谔方程及方程组解的存在性、尤其是无穷多解或多峰解的存在性以及解的渐近性态等问题。具体的研究内容如下：首先，在三维空间中我们应用有限约化方法研究了带电磁位势的薛定谔方程组，并在给出的对称位势满足代数衰减时得到了无穷多非径向对称分离解的存在性；其次，针对一类更一般非线性项的薛定谔-泊松方程组，我们应用两次约化并结合局部能量的方法，得到了带该方程组无穷多解的存在性；再次应用爆破分析的技巧结合局部的Pohozeave恒等式我们得到了带Hardy项且满足临界指数增长的分数阶拉普拉斯方程无穷多解的存在性；最后应用纯变分方法我们也研究了带非对称竞争位势的分数阶薛定谔泊松系统束缚态解的存在性，并且结合Pohozeave恒等式我们进一步证明了次临界情况下的分数阶薛定谔方程规范解的存在性。