用偏微分方程约束优化研究离子尺寸修改的 Poisson-Boltzmann 模型

This project is the interdisciplinary research of optimization and biomolecular computations, which mainly focuses on studying the ionic size-modified Poisson-Boltzmann (PB) model. The PB model has been widely used in the electrostatic free energy calculation of biomolecular systems. However, due to the singularities caused by the fixed charges from the biomolecule and jump interface conditions in the model, the task of theoretically analyzing and numerically solving the model became a difficult research issue. Thus, it is urgent and critical to solve these difficulties for applications in biochemistry and bioengineering..Concentrating on the ionic size-modified PB model, the main contents of this project are described as follows: (1) We are going to analyze the ionic size-modified PB model by minimizing the free energy functional with partial differential equation constraint. Adopting the solution decomposition technique proposed recently by us to deal with the singularities, the original ill-conditioning problem will be converted to a good one firstly, and then the simplified proof about the existence and uniqueness of the solution will be given; (2) The fast numerical algorithm for efficiently solving this ionic size-modified PB model will be designed and programmed, together with verification of the new program package using available test models and demonstrations of accuracy and efficiency; (3) As the applications of the program package, the solvation free energy and binding free energy of biomolecular systems will be computed, providing results for researchers in electrostatic-energy-related fields..In a word, this project will provide a new and concise theoretical analysis for the ionic size-modified PB model for the solution existence and uniqueness, design an efficient algorithm, and then program a powerful numerical solver, which not only provides tools for applications in related fields, but also effectively enhances the application of the optimization theories and methods.

本项目是最优化与生物分子计算的交叉，主要研究离子尺寸修改的 Poisson-Boltzmann(PB)模型。该模型常用于研究生物分子系统的静电性质，但因其存在奇异性和跳跃边界等问题，它的理论分析和数值求解是工程应用中迫切需要解决的难题。.针对离子尺寸修改的 PB 模型，本项目主要研究内容为：(1) 从一个偏微分方程约束优化问题出发来研究这个模型，采用我们近期提出的一种分解技巧将原本病态的问题转换成一个性态良好的新问题，继而证明该模型解的存在唯一性；(2) 设计优化算法求解该模型，并编写程序，数值测试其精度及效率; (3) 用设计的算法及程序计算并分析生物分子系统的溶剂化自由能和结合自由能。.该项目将为离子尺寸修改的 PB 模型解的存在唯一性提供一种严格而简洁的证明，并给出该模型高精度的快速算法及程序。这将为相关领域的研究人员提供计算和分析的工具，也可为最优化理论与方法的应用探索新的方向。

静电势能在蛋白结构和生物功能、催化活性等方面发挥重要的作用，研究离子溶液中生物分子静电性质常用的一个数学模型是Poisson-Boltzmann方程(PBE)模型，该模型已广泛用于蛋白对接、离子通道建模、合理药物设计等许多重要的生物工程应用。然而，因PBE模型忽略了离子的尺寸以及离子与离子间相互作用的影响而在实际应用中表现出了一定的局限性。因此，如何在传统 PB 理论的基础上加入离子尺寸影响来构造更好的更符合实际的物理模型，以及与新模型相应的理论分析和数值求解，都是亟需解决的重要问题。.本项目从偏微分方程约束最优化问题出发，利用Poisson介电模型解的一个分解式克服了问题的奇异性，为离子尺寸修改的PB模型解的存在唯一性提供了一个严格而简洁的证明。在数值计算方面，为离子尺寸修改的PB模型设计了有限元方法、有限元与有限差分混合的方法等快速算法，并编写了程序包。然后将设计的算法和程序包应用到了一个在线计算软件SMPBS(Size Modified Poisson-Boltzmann Solvers)，该软件可用于测算生物分子系统的静电溶解自由能和生物分子复合物的绑定自由能。为了对SMPBE模型进行应用研究，基于设计的算法和程序，将其与传统的PB模型进行了比较研究，并推导出了一个改进的能量计算式。基于此，计算了静电溶解自由能，数值模拟了双层电子现象，验证了在电子浓度预测方面SMPBE模型比传统的PB模型更精确这一结论。作为本项目研究结果的拓展和进一步考虑离子间相互作用的影响，我们尝试对非局部介电模型的快速算法进行了初步研究。.本项目为离子尺寸修改的 PB 模型解的存在唯一性提供了一种严格而简洁的证明，并给出了该模型高精度的快速算法及程序。这为相关领域的研究人员提供了计算和分析的工具，也为最优化理论及算法探索了新的应用方向。