基于量子信息论的算子完全序结构及相关问题的研究

The cross study of mathematics and information science is one of the research directions that have been paid attention by many experts in recent years. In the past ten years, the mathematical tools and methods of operator theory,operator algebra and operator space theory have been widely used in the research of quantum information theory. This project is a crossover study of operator theory and quantum information theory. We will use the theory of operator numerical ranges, operator spectra and the tensor product theory as a tool, to study some problems of operator theory which is related to quantum entanglement theory and Bell inequality.The main contents include: complete order structure of some special operator space, extension and decomposition properties of completely bounded maps and completely positive maps, characterization of the extreme points and fixed points for quantum operation. Also, we further study Schur-Horn theorem for von Neumann algebras and it's applications in quantum information theory, the structure of quantum channel entropy and the interpolation of quantum channel, the geometrical and topological properties of Bell operator class. At the same time, the results and methods of the complete order structure are applied to the quantum information theory. The study intends to interdisciplinary research of operator theory and quantum information theory and provides the new cross points, some new ideas and possible avenues, to develope and promote the crossover study between them.

数学与信息学的交叉研究，是近年来受到多个领域专家关注的研究方向之一。近十年来，算子理论与算子代数、算子空间理论等数学工具和方法在量子信息论的研究中得到了重要的应用。本课题是算子理论与量子信息论的交叉研究，将以算子谱理论、算子空间的张量积理论、算子数值域等为工具，研究与量子纠缠理论及Bell不等式相关的算子理论问题。我们主要研究：特殊算子空间上的完全序结构及完全有界映射的延拓性和分解性；完全正映射和量子运算的端点、不动点的特征；算子代数上Schur-Horn定理的进一步研究及其在量子信息论中的应用；量子信道的熵结构及量子信道的插值性；Bell类算子的几何与拓扑结构。同时，考虑将所研究的算子完全序结构的成果和方法应用到量子信息论的问题中。本项目的研究拟为算子理论和量子信息论的交叉研究提供新的融合交叉点，拓广新的研究思路和可能的研究途径，并进一步发展和推进这两者之间的交叉研究。

从上世纪初至今，算子理论、算子空间及算子代数的研究获得了迅猛发展，取得了很多开创性的研究成果，在量子力学、控制论、微分方程等数学分支上有着广泛而持久的应用。近年来，算子理论与算子代数、算子空间的许多研究成果已在量子信息论研究中得到了越来越重要的应用。本项目是算子理论与量子信息论的交叉研究，主要研究了一些具体算子空间上的完全序结构及算子的偏序结构。同时，也将算子理论的一些具体理论和方法应用到了量子信息论的问题中。主要研究内容包括下面三个方面: 1.算子空间K(H)(全体紧算子)和T(H)(全体迹类算子)上及它们之间的完全正映射和完全有界映射的结构和分解性定理。我们给出了这些完全有界映射所构成的*向量空间上的矩阵序及其完全序同构之间的嵌入性定理。同时，我们讨论了完全有界映射分解为完全正映射的结构问题和这些空间上完全正映射的延拓问题。2.算子的偏序结构,研究了满足幂等算子插值性的自伴酉算子的结构和它们在算子序下的最值问题,同时,研究了满足J压缩投影的自伴酉算子的最值问题和它们的具体表示,也讨论了*偏序下幂等算子的上下确界问题。3.基于Werner-Holevo信道的形式，我们研究了两类更一般线性映射的正性完全正性以及完全余正性，讨论了它们是量子信道的充要条件。同时，我们研究了:无限维空间上量子态的一种新的偏序结构以及这种量子态的偏序与量子熵(Renyi divergence)性质之间的关系。 . 该项目(11671242)已在国外数学与物理专业期刊发表论文12篇，正在评审中论文2篇。我们的研究成果进一步揭示了无限维空间上K(H)和T(H)算子空间结构的一些新的特征，揭示了无限维空间和有线维空间上算子空间结构的本质区别，为算子理论和量子信息论的进一步交叉研究提供新的融合点，并拓广了新的可能的研究途径。