复合算子空间的拓扑结构及相关问题的研究

This project belongs to the field of several complex variables and operator theory. We will mainly study the topological structure, algebraic properties and cyclicity of composition operator on different function spaces. We proceed in three fields. Firstly, characterize the topological connectness,the essential norm estimates of the linear combination and difference of (weighted) composition operators on classical function spaces. Secondly, discuss the normality of composition operator, and starting from the (compact) interwining relation for integral (Volterra) type and composition operators on several function spaces, discuss essential commutativity between that integral type and composition operators. Finally, investigate the cyclicity, hypercyclicity, and the dense set of the hypercyclic vectors, common hypercyclic vector, hypercyclic subspace of (weighted) composition operators, chaotic (weighted) composition operator and its adjoint operator and so on. The problems involved in this project are active research in the development of modern complex analysis and operator theory and some of them had a considerable influence on both its internal develpoment and its diffusion within the mathematical community.

本项目属于多复变函数论与算子理论领域,主要致力于研究各种函数空间上复合算子空间的拓扑结构以及复合算子的代数性质与循环性。首先讨论作用在经典函数空间上的复合算子全体的拓扑连通结构, 以及其线性组合的本性范数的上、下界估计，完整刻画作用在高维单位球全纯函数空间上(加权)复合算子的线性组合和差分的紧性。其次,讨论复合算子的正规性,并以讨论 Volterra 型算子与复合算子的（紧）缠绕关系为出发点, 研究复合算子与这类积分型算子的本性可交换性。最后讨论一些函数空间上（加权）复合算子及其伴随算子的循环性, 超循环性, 以及超循环向量的稠密性, 公共超循环向量, 超循环子空间, 混沌（加权）复合算子及其伴随算子等等。本项目所涉及的研究问题是国内外多复变函数论与算子理论研究领域的现代数学热点课题，其中很多有待解决的问题在学术上具有十分重要的理论意义。

本项目属于多复变函数论与算子理论领域,主要致力于研究各种函数空间上复合算子的拓扑结构、代数性质与循环性. 首先研究了单位圆盘或球上一些函数空间加权复合算子，积分型算子，微分算子及其乘积的有界性、紧性问题; 有些问题给出了一些新的刻画。其次，讨论了Bloch型空间上广义复合算子的闭值域问题；加权Dirichlet 空间上复合算子的等距问题；较全面刻画了Hardy空间及Bergman空间上可逆加权复合算子的谱；Bergman空间上复合算子的Hilbert-Schmit范数; 并且讨论了单位圆盘上Bergmn空间上的Voltera算子的缠绕关系，以及Bergman空间和Bloch空间的复合算子的紧缠绕。然后研究了调合Bergman空间上拟齐次Toepltz算子的代数性质。最后讨论了一些函数空间上加权位移算子、微分算子、 复合算子及其伴随算子的循环性, 超循环性, 以及超级循环向量的稠密性, 公共超级循环向量的结构, 超级循环子空间；球上Hardy空间上复合算子的不交混合性等等。本项目圆满达到了预期研究目标, 取得了丰硕的研究成果, 获得了很多令人十分惊讶的完美结果，研究结果更进一步揭示了单变量与多变量、不同函数空间上算子理论的联系与不同。