超几何级数与同余式

Hypergeometric series is a very important research branch of combinatorics, and there are many interesting results in the literature. Congruences and supercongruences are an important research subject in number theory. The aim of this programme is to study congruences and supercongruences on sums of binomial coefficients and all kinds of combinatorial numbers by using some reults in hypergeometric series and q-seires, such as the Chu-Vandermonde identity, the Pfaff-Saalschutz identity, and the q-Gauss identity. What we want to do are as follows: Study congruences for sums all kinds of combinatorial numbers such as binomial coefficients, Catalan numbers, Apery numbers, Fibonacci numbers, Franel numbers; Find q-analouges of some known congurences; Solve or make progress on some of Zhi-Wei Sun's conjectures on congruences and supercongruences, such as his conjecture on supercongruences on Franel numbers; Study some possible generalizations and refinements of the Rodriguez-Villegas conjecture (namely, the Mortenson theorem).

超几何级数是组合数学的一个非常重要的研究分支，文献中已经有不少有趣的研究成果。同余式问题和超同余式问题是数论的一个重要研究课题。 本项目是要利用超几何级数和q-级数理论的一些结果， 如Chu-Vandermonde恒等式，Pfaff-Saalschutz恒等式和q-Gauss恒等式来研究二项式系数和各类组合数之和的同余式问题。主要内容有：研究二项式系数和Catalan数、Apery数、Fibonacci数、Franel数等组合数之和的同余式问题，给出一些已有的同余式的q-模拟； 解决或推动孙智伟教授提出的某些同余式和超同余式猜想，如Franel数的超同余式猜想；研究Rodriguez-Villegas猜想（即Mortenson定理）的各种可能的推广和加细。

同余式是组合数学和数论的一个重要研究课题。本项目主要利用超几何级数和q-级数理论如Chu-Vandermonde恒等式来研究二项式系数和其它各类组合数之和的同余式问题。本项目我们共在国际数学刊物上发表论文22篇。本项目取得的主要科研成果有：解决了南京大学孙智伟教授的几个同余式猜想。解决了孙智宏教授与Franel数有关的一个同余式猜想。给出了Rodriguez-Villegas的四个超同余式的完全q-模拟。给出了van Hamme的一个超同余式的q-模拟。给出了Kohnen同余式的一个多重和推广，给出了与Delannoy数、调和数、Fermat商有关的的几个同余式的q-模拟。给出了q-Narayana数之幂的交错和的一个整除性质。用q-WZ方法证明了含有二项式系数的Ramanujan类型的超同余式的q-模拟。我们也提出一些相关猜想，并引起同行的兴趣。总而言之，本项目对同余式的研究做出了一些贡献。