抽象时滞发展方程周期解的存在性及渐近性态

The periodic problem of partial differential equation with delays is an important research topic in the field of nonlinear analysis and partial differential equations and it has attracted many researchers' attention and concern. Many types of partial differential equations with time argument can be written summarily to the form of abstract evolution equations. The study of the problem on the abstract evolution equations with delays is hopeful to obtain the general solution for the periodic problems of some concrete partial differential equations with delays. Hence, it has important significance in theory and applications. In this project, we will research the periodic problem of abstract evolution equations with delays by the theory of operators semigroups and the methods of nonlinear analysis. For various types of abstract evolution equations with delays proposed from applications, we will try to obtain the existence, multiplicity, uniqueness and asymptotic stability results of periodic solutions. We will apply our abstract theorems to some concrete partial differential equations with delays to examine the applicability of the abstract theorems. Especially by applying our abstract theorems, we will further discuss the existence and asymptotic stability of positive periodic solutions of parabolic delay equations and delay telegraph equations.

时滞偏微分方程周期解问题是非线性分析与偏微分方程中人们非常关注的问题，抽象空间发展方程是含时间变量的偏微分方程的概括描述，抽象时滞发展方程周期解问题的研究有望使一些具体的时滞偏微分方程周期解问题获得一般的解决，具有重要的理论与应用意义。在本项目中，我们拟用算子半群理论与非线性分析的理论工具与方法深入地研究抽象时滞发展方程周期解问题，就各种应用情形分别获得周期解的存在性与多重性、唯一性与渐进稳定性的等结果，并将获得的抽象结果应用于一些具体的时滞偏微分方程，检验我们的结果的适用性。特别应用我们的抽象结果进一步研究时滞抛物型偏微分方程与时滞电报方程正周期解的存在性与渐近稳定性。

本项按预定的研究目标与研究计划，应用算子半群理论与非线性分析的理论工具与方法研究了时滞发展方程周期解的存在性及相关的问题，获得了一些预期的研究成果。我们的主要工作如下：(1)对具有非局部时滞的抛物型偏微分方程边值问题，应用正算子半群理论与单调迭代方法，获得了时间周期解的存在性与唯一性结果；(2)研究了多时滞电报方程正双周期解的存在性，应用广义函数与基本解理论建立了线性电报方程双周期解的强正性估计，借助于该估计与锥上的不动点指数理论获得了非线性项关于时滞项超线性或次线性增长时方程正双周期解的存在性结果；(3)研究了Banach空间一类二阶阻尼发展方程初值问题的可解性，用扇形算子与解析半群理论获得该问题的解析性及指数稳定性，为进一步研究该方程周期解的存在性、正则性与渐近稳定性奠定了基础，并把抽象结果应用于具有结构阻尼的梁振动方程，描述了梁振动方程的渐近性态；(4)研究了Banach空间中整数阶与分数阶抽象发展方程的含周期问题的非局部问题，利用算子半群理论、拓扑度方法、正算子扰动方法、单调迭代方法等技巧获得了mild解的存在性与唯一性，所得结果发展了近期有关文献中的一些结果；(5)研究了几类强非线性时滞常微分方程正周期解的存在性，应用不动点指数理论获得了正周期解存在的本质条件。