耦合Korteweg-de Vries方程组的控制问题

The Korteweg-de Vries equation is commonly accepted as a mathematical model for the unidirectional propagation of small amplitude long waves in nonlinear dispersive systems, the strong interaction of two nonlinear long internal gravity waves on the thermocline of lakes, fjords or coastal waters can be modeled by a coupled system of two Korteweg-de Vries equations. This project is devoted to a study of the control problems for the coupled system in a bounded domain. The main objectives include: (1) showing the existence of time optimal control of the coupled system of two Korteweg-de Vries equations with controls acting locally in a subset, proving that any time optimal control satisfies the bang-bang property; (2) proving that there exist internal controls such that the solution of the coupled system of two Korteweg-de Vries equations satisfies a finite number of integral constraints and can be driven to the null state at some given time. These problems are important in control theory, they are theoretically and practically useful in physics and engineering. The expected results will help us develop a deep understanding of the coupled system of two Korteweg-de Vries equations and promote the study of nonlinear dispersive systems.

Korteweg-de Vries方程是模拟非线性色散系统中小振幅长波单方向传播的经典数学模型，湖泊、峡湾以及沿海水域温度突变层中两个非线性重力长波内部间的强相互作用可以由一个耦合的Korteweg-de Vries方程组来描述。本项目致力于研究这个方程组在有限区域上的控制问题，主要研究目标包括：(1)研究具有内部控制的耦合Korteweg-de Vries方程组时间最优控制的存在性，证明时间最优控制具有bang-bang性；(2)证明存在内部控制，使得其驱动下的耦合Korteweg-de Vries方程组的解满足有限个积分约束条件并且能在给定的时间到达零点。这些问题是控制理论中的重要问题，在物理学与工程技术中具有很好的理论意义和应用价值。同时，预期研究成果可以帮助我们更深入的了解耦合Korteweg-de Vries方程组，促进非线性色散系统的研究。

Korteweg-de Vries方程是模拟非线性色散系统中小振幅长波单方向传播的经典数学模型，湖泊、峡湾以及沿海水域温度突变层中两个非线性重力长波内部间的强相互作用可以由一个耦合的Korteweg-de Vries方程组来描述。本项目研究了有限区域上这个耦合方程组的控制问题，完成了以下两个研究目标：(1)证明了具有内部控制的耦合Korteweg-de Vries方程组时间最优控制的存在性与bang-bang性；(2)证明了存在内部控制函数，使得其驱动下的耦合Korteweg-de Vries方程组的解满足有限个积分约束条件并且能够在给定的时间到达零点。这些问题是控制理论中的重要问题，在物理学与工程技术中具有很好的理论意义和应用价值。同时，这些研究成果可以帮助我们更深入的了解耦合Korteweg-de Vries方程组，促进非线性色散系统的研究。