独立随机不完全配对：理论与应用

Independent random matching with a large population has been widely used in biology, economics, finance and mathematics. The project is a follow-up of the existing literature. The purpose is to establish the mathematical foundation of independent random partial matching with a large population and general types, for both static and dynamic cases. In particular, we will present a formulation for such matchings, establish their existence, and identify the deterministic distributions of matched types. It is worthwhile to note that "proportional law", "mixing property" and "measure preserving" in the static case, and "deterministic type distribution" and "stationary type distribution" in the dynamic case immediately follow the exact law of large numbers.

拥有大规模个体和一般类型空间的独立随机不完全配对理论，在生物学、经济学、金融学、数学等多个领域中有着广泛的应用。本项目基于目前的进展，主要研究拥有一般类型空间的静态和动态独立随机不完全配对的数学基础问题。我们将为这两类配对进行严格的数学建模，证明模型的存在性和模型中的确切大数律。基于确切大数律，我们可以直接得到静态模型中的“按比例配对”、“类型混合性质”和“保测度性”，以及动态模性中的“确定的类型分布”和“稳定的类型分布”等学者们期待得到的性质。

拥有大规模个体和一般类型空间的独立随机不完全配对理论，在生物学、经济学、金融学、数学等多个领域中有着广泛的应用。本项目基于目前的进展，主要研究拥有一般类型空间的独立随机不完全配对的数学基础问题。我们为其进行严格的数学建模，证明模型的存在性和模型中的确切大数律。基于确切大数律，我们还具体给出了配对之中确定的类型分布。我们的结果是基于Loeb乘积空间和Loeb转移概率的乘积上的Fubini性质（即积分交换性）。另一方面，上述结果同样依赖于Loeb计数概率空间上的Keisler其次性定理。..在处理独立随机配对的理论的时候，涉及到个体空间的具体刻画与描述。针对个体空间的刻画问题，学者们曾经出了多种刻画方式（包括Lebesgue单位区间、重复经济体、分布式方法等），但都不甚理想。传统文献中，Lebesgue单位区间被广泛用于建模个体空间。但是它有着很多弊端：比如，它无法保证纯策略纳什均衡的存在性等。这也导致使用Lebesgue单位区间来建模个体空间的工作存在一定程度上的瑕疵。课题组对于这一问题进行了深入的研究，提出了“nowhere equivalence”条件，用以描述大规模的个体空间。具体来说，nowhere equivalence这一条件将“个体”与“个体的特征”区分开来。我们论证了nowhere equivalence这一条件可以囊括其他办法，更加具有一般性。同时，借助两个最基本的模型——交换经济模型和一般博弈模型，我们证明了使用nowhere equivalence这一条件来刻画个体空间是“必要”的。..课题组还考虑了随机配对模型在经济学和金融学的应用。针对“拥有非对称信息和大规模竞争性参与者”的经济体，我们研究了其中帕累托效率与激励相容的关系。我们发现，竞争性均衡/帕累托效率与激励相容性质之间存在着天然的矛盾：针对一类经济体，如果使用竞争性均衡来制定分配/交易合约，那么（几乎）每个参与者都有动机谎报自己的信息以获取更大的收益。这一成果指出在某些拥有不对称信息的情形下，无法制订出兼有效率和激励相容性质的合约。这一结果也将帮助分析和解释现实世界中的诸多效率损失问题。