分形几何与拓扑动力系统

动力系统和分形几何是两个有紧密联系而又相互的独立的基础数学学科。申请者多年来形成了"动力系统- - 遍历理论- - 分形几何"的科研方向，作出一系列较好结果，积多年研究的经验，积累了大量问题。在动力系统研究中我们曾引进弱和拟几乎周期点和测度中心概念，使得动力系统的核心问题- - -轨道结构的研究得以深入一步。在分形几何研究中，我们开创了"自相似集内部结构"研究的新领域，提出一系列新思想、新方法、新概念，引出了一系列新问题，为这个新的研究领域向纵深发展作了良好开端，打下了良好基础。在参考文献（1）和专著（2）中，我们曾对动力系统和分形几何提出12个开问题和一组猜测，并总结了我们阶段性成果。我们所提出的问题已经成为国内外同行竞相研究的焦点，引起激烈的竞争。本课题乃这项研究的继续，我们的目标非常明确，就是解决或部分解决我们所提出的问题。

我们按计划开展分形几何与拓扑动力系统研究：分形几何方面，在满足开集条件的自相似集的Hausdorff测度理论和计算及估计研究方向上得到一系列新结果；在拓扑动力系统方面，涉及弱与拟弱几乎周期点和测度中心等问题，亦得到一系列较好结果。共发表专著2本和论文10篇，其中专著“自相似集的结构---Hausdorff测度与上凸密度”是我国分形领域的第一部研究专著，从申请者推翻国外学者提出的关于满足开集条件的自相似集的Hausdorff测度的准确值的两个猜测起，充分挖掘了上凸密度的作用，建立了“部分估计原理”，形成满足开集条件的自相似集的Hausdorff测度的理论和计算及估计的研究理论体系，得到若干新成果，提出若干新问题和新概念；在拓扑动力系统方面，专著“拓扑动力系统---从拓扑方法到遍历理论方法”，总结了自我们提出弱和拟弱几乎周期点和测度中心概念以来，我们得到的研究成果。在两本专著中，我们都提出一系列新问题，它们引起国内外同行的广泛关注，竞相围绕这些问题展开研究，争取解决我们的问题。这些问题亦是我们研究的核心，例如，在本项目研究中，我们解决了我们在两部专著中提出的一些问题。我们我们提出的这些问题，在某种意义上在一个时期内推动了相关两个领域的发展。我们的研究的一个特点是，几乎所有问题都是我们自己提出来的，即我们的研究是原创性的，而不是跟着外国人后面跑。再者，我们的研究具有较强的系统性，我们更看重深刻性，而不是追求肤浅的广泛性。