偏微分方程约束最优控制问题的区域分解算法

本项目研究偏微分方程约束的最优控制问题的区域分解算法。偏微分方程约束的最优控制问题出现在科学与技术的许多重要领域。此类问题的复杂性和高维特征对于相关的数值方法提出了巨大的挑战，这些特点通常需要特别的迭代算法、预条件技术和并行技术。求解大规模问题的根本有效途径是高性能和高效的并行计算。适用于偏微分方程的区域分解算法及其相关的收敛性分析并不能直接用于偏微分方程约束的最优控制问题，在算法设计和理论分析各方面都出现了许多新的问题和困难。美、德、法等国的科学家提出了不同的并行算法，研究集中于控制和状态无约束问题，仅证明了算法的收敛性，无收敛速度的分析结果。本项目的创新点：分析已有算法的收敛速度，提出新的区域分解算法，如具有最优计算量的梯度投影-区域分解型算法、具有较好收敛速度的非重叠型区域分解算法、时间依赖偏微分方程约束的最优控制问题的区域分解算法、控制和状态受限问题的区域分解算法等。

偏微分方程约束的最优控制问题的复杂性和高维特征使得相关的数值模型是大规模非线性系统，这些系统需要特别的预条件、区域分解和并行计算技术求解。本项目研究偏微分方程约束的最优控制问题的基于重叠和非重叠区域分解的算法。. 本项目的主要研究内容包括以下几方面：（ａ）稳态最优控制问题的重叠型区域分解算法；（ｂ）稳态最优控制问题的非重叠型区域分解算法；（ｃ）时间依赖最优控制问题的区域分解算法；（ｄ）相关和扩展问题的算法研究。. 本项目按计划完成了预期的目标。主要研究成果和创新点如下：. （１）梯度投影-区域分解型算法。该算法由内和外两层迭代构成：外层是一个逼近控制变量的收敛的迭代算法，内层是求解状态和对偶状态变量的偏微分方程的重叠区域Schwarz交替算法。创新学术思路和解决的关键技术问题是：选择最优的用于内迭代的区域分解算法的迭代次数，保证由内迭代和外迭代组成的整体迭代收敛，并使整体计算工作量最小。该研究结果在实际应用和理论研究方面都具有重要的意义。. （２）引入了新的分析技术，系统研究了最优控制问题的Robin型非重叠区域分解算法的收敛速度问题，特别研究了算法中正则化参数对于问题和算法的影响。在各种参数选择条件下，分析了算法的最优阶收敛速度，给出了最优阶参数条件。. （３）对于时间依赖最优控制问题，其最优性条件是关于状态的正向问题和关于对偶状态的倒向问题的耦合非线性偏微分方程组。由于时空变量需联立求解，高维特性更显著,给数值计算带来了更大的困难。（ａ）我们构造了抛物型偏微分方程约束的最优控制问题的Dawson-Dupont型区域分解算法，分析了算法的收敛性和误差估计。该算法的优点是区域分解算法无需迭代；（ｂ）我们分析了Robin型时-空有限元方法。其基本思想是空间方向采用Robin型区域分解方法，将整体问题分解成多子区域子上Robin型子问题，然后采用时-空有限元求解。我们分析了算法的收敛速度。. （４）相关和扩展问题算法研究: 变系数分数阶扩散问题解的适定性，建立了边值问题的弱强制性理论；Stokes流和Navier-Stokes流约束的状态受限问题的有限元方法的先验误差估计和自适应有限元方法的后验误差估计；积分-微分方程约束的最优控制问题的有限元方法和有限元解的先验误差估计；最优控制问题的谱方法的先验和后验误差估计。