带复杂凸约束偏微分方程最优控制的算法分析

偏微分方程最优控制问题在石油，化工，航空航天等行业都有着广泛的应用。这个项目中主要考虑控制变量或者状态变量逐点带有复杂凸约束的椭圆型偏微分方程组最优控制问题。这是一个带有无穷多约束的优化问题，同时每个点的约束条件可能包含比较复杂的几何结构，如何找到高效的数值算法是一个很大的挑战。全局上看，因为约束的数目可能多于变量的个数，导致拉格朗日乘子耦合在一起，一般的对偶方法不能直接应用。而状态变量的逐点约束会导致对偶问题的低正则性，一般来说拉格朗日乘子只是一个Radon测度，需要找到一个合适的正则化方法来解决低正则化带来的困难。针对以上提出的一些问题，本项目拟采用半光滑牛顿法对于控制变量约束，状态变量约束，控制变量和状态变量同时存在约束等各种不同的情况提出高效率的算法，给出相关的理论分析和实际的数值模拟并将此算法应用至不可压缩流体Navier-Stokes方程最优控制等实际问题中。

此项目研究了带一般控制约束的偏微分方程最优控制问题的牛顿型算法，并将其应用于微分方程参数识别，稀疏反演等相关领域中。主要成果包括：当控制变量带有欧几里得约束或者多边形约束时，构造半光滑牛顿法并证明其算法的局部超线性收敛；椭圆算子最小特征值优化问题的有限元近似以及交替方向算法的收敛性分析；椭圆方程Robin系数反问题在最优控制框架下的牛顿型算法；稀疏正则化问题的原始对偶积极集方法（特殊情况时等价于半光滑牛顿法）以及其全局收敛性分析。通过这个项目的探索，我们初步得出结论：牛顿型算法配合恰当的全局化技巧对于最优控制问题以及参数识别问题是精确而且高效的，我们将试图在以后的工作中对此进一步展开研究。