压缩感知与稀疏重建的理论及应用

现有的数据获取模式是先采样再压缩，不利于小型传感器实现。近两年诞生的压缩感知与稀疏表示理论，在信号获取的过程中加入了压缩的思想，需要时可采用重建算法从压缩感知数据中恢复出本来的数据。该方法是一种全新的信息感知方式，有着广阔的应用前景。目前存在的关键难点集中在感知矩阵如何构造以及快速重建算法如何设计。本课题将围绕上述关键问题展开研究，综合运用矩阵理论、泛函分析、统计学以及现代数学中的最优化方法，寻求感知矩阵须具备的必要条件，利用多项式方法构造具有确定性质的感知矩阵，研究压缩感知中快速重建算法的选择与设计，并讨论其收敛性。在此基础上，将压缩感知的思想引入小波去噪，研究基于压缩感知与稀疏重建的小波去噪模型与方法。本课题旨在为实现压缩感知提供新的分析与计算工具，为感知矩阵的构造和快速稀疏重建算法提供统一框架，并为该理论在更多领域中的研究和应用提供前提条件和理论指导。

压缩感知与稀疏表示理论是信息处理领域中的热点研究问题，本项目组按照原计划的研究目标，在测量矩阵的构造与优化、重建算法的设计与改进、压缩感知与稀疏表示的应用方面开展了研究，取得的主要成果如下：在测量矩阵的构造与优化方面，构造了广义轮换矩阵、广义哈达玛矩阵；分别提出了基于多项式和基于正交向量的分块稀疏测量矩阵的构造方法；利用测量矩阵的特性，提出了基于特征值分解的测量矩阵优化方法。在重建算法的设计方面，针对匹配追踪类算法提出了几种改进算法，分别为正则化自适应匹配追踪算法（RAMP）、变步长自适应匹配追踪算法（VssAMP）、基于正则化回溯思想的自适应匹配追踪算法（SAMP-RP）、以及基于小波域树形结构的回溯正交匹配追踪算法；针对稀疏重建模型，通过引入光滑函数序列去逼近L0范数，从而将L0范数最小的问题转化为光滑函数的最优化问题，进而提出一种基于光滑L0范数和修正牛顿法的重建算法（NSL0）。在应用方面，将压缩感知与稀疏表示理论以及字典训练的方法分别应用于小波去噪、图像的超分辨重建、图像修复和着色等方面，取得较好的效果。本项目的研究丰富了压缩感知与稀疏表示的理论与算法，为该理论在更多领域中的研究和应用提供了参考。