圆填充与随机Loewner演变(SLE)研究

A circle packing is a configuration of circles with a prescribed combinatoric pattern and prescribed intersection angles in a constant curvature surface, which is a power tool in studying discrete complex analysis. A stochastic Loewner evolution (SLE) is a one-parameter family of random planar growth processes constructed by solving the Loewner equation when the driving function is a one-dimensional Brownian. This process is intimately connected with scaling limits of percalation clusters. In this project we shall consider (1) algorithms of circle packings; (2) discrete approximations of some classical problems in complex analysis via circle packings; (3) scaling limits of discrete statistical models; (4) estamates for the rate of convergences of discrets processes to SLE; (5) random conformal weldings.. The novelty of this project comes from appplying the new results in discrete complex analysis obtained by the techniques of circle packings to deal with some important problems in the theory of Schramm-Loewner evolution (SLE).

圆填充是指常曲率曲面上具有特定组合模式与特定交角的一种圆格局，它是研究离散复分析的一个强有力工具。随机Loewner演变(SLE)是一类含有一个参数的随机平面增长过程，它可以通过解驱动函数为一个一维Brownian运动的Loewner方程来构造。这个过程与渗流丛的尺度极限密切相关。本项目拟研究：（1）圆填充的算法；（2）复分析中一些经典问题的圆填充逼近；（3）离散统计模型的尺度极限；（4）离散过程收敛于SLE的速度估计；（5）随机共形粘合。. 本项目的创新之处：基于圆填充技术，将讨论离散复分析中所得到的新成果应用于研究随机Loewner演变(SLE)理论中的重要问题。

圆填充是指常曲率曲面上具有特定组合模式与特定交角的一种圆集合，它是研究离散复分析的一个强有力工具，在数值计算和图像处理等方面有着重要的应用。随机Loewner演变(SLE)是一类含有一个参数的随机平面增长过程，它可以通过解驱动函数为一个时间改变一维Brownian运动的Loewner微分方程而得到。这个过程与渗流丛的尺度极限密切相关，它在研究二维相变方面起着至关重要的作用。本项目完成了如下研究工作：(1) 应用组合Ricci流技术讨论了圆填充的算法及其收敛速度的估计；（2）应用圆填充方法讨论了复分析中的一些经典问题（包括共形映射和共形粘合等）的离散逼近，并且给出圆填充整体收敛于Riemann映射的速度估计；（3）研究了SLE与随机过程的一些性质；（4）讨论了偶极Loewner微分方程解的估计与离散统计模型的尺度极限及其收敛于SLE的速度估计；（5）应用Gauss自由场技术建立了平面多连通区域的随机共形粘合，讨论了多裂缝的偶极Schramm-Loewner方程。. 本项目研究工作有着重要的理论意义和应用价值。一方面，丰富了圆填充与SLE理论的内容，同时，也为它们在复分析与二维相变等方面的应用提供理论基础。另一方面，应用圆填充技术，解决了离散近似共形映射与共形粘合等问题，这为其数值计算提供了一种新的理论依据和方法。而且，解决了离散统计模型收敛于SLE的速度估计问题，这有助于改进相关统计模型临界指数的估计。