M-特征标及其相关问题

The main objects of this project are as follows: (1) For the solvable groups, we will investigate the influence of the arithmetical properties of monomial characters on the structures of the groups, and study the connection between the M-groups and the solvable groups. (2) Under the assumption that a finite group possesses some monomial characters or characters similar to monomial ones, we will determine whether the group is solvable, and describe the structure when the group is nonsolvable. (3) We will also study some problems related to the character induction.

本项目主要研究内容如下： (1) 在假定有限群可解条件下,考察M-特征标的算术性质对群结构的影响,研究M-群与可解群的联系。 (2) 在假设有限群有若干M-特征标或类似M-特征标的条件下,给出有限群的结构,主要包括确定群是否可解、在不可解情形描写群的结构等。 (3) 研究与特征标诱导相关的其它一些群论问题。

本项目主要研究内容如下：(1) 在假定有限群可解条件下,考察M-特征标的算术性质对群结构的影响,研究M-群与可解群的联系。(2) 在假设有限群有若干M-特征标或类似M-特征标的条件下,给出有限群的结构,主要包括确定群是否可解、在不可解情形描写群的结构等。(3) 研究与特征标相关的其它一些群论问题。.本项目取得的重要结果及科学意义如下：(1) 研究了可解群的一类特殊的M-特征标，即P-特征标。指出了由极大子群的主特征标诱导产生的不可约特征标都是M-特征标，说明了可解群中有大量的M-特征标，进而给出了不少有趣的结果。由此说明,对于可解群来说，其P-特征标绝大程度上决定了群的结构性质，这对于可解群理论有重要意义，对于M-特征标的研究有明显的应用前景。 (2) 研究了具有很多M-特征标(或非本原特征标）)的非可解群，给出了具有下面之一性质的非可解群的结构描写：所有非线性的本原（或非单项）特征标都有（i）相同次数；(ii) 都有平方自由的次数；(iii) 都有素数方幂次数；（iv）都有奇数次数。这些结果不但给出了Berkovichi关于M-特征标若干猜想的正面回答，更重要的是，这些结果表明：不可解群的不可约特征标几乎都是本原的或非本原的，这对于研究M-特征标理论具有普遍的意义。(3) 研究了有限群的平均特征标次数和平均共轭类长度。我们的研究方法有创新，部分结果推广了群论大师Isaacs, Guralnick和Robinson的结果，给出了非p-可解群的平均特征标次数和平均类长的精确下界。