液晶波动方程组整体解的理论研究

As the increasingly widespread applications of liquid crystal in the thin display material, the mathematical theory of liquid crystal has attracted so much attention from mathematicians and physicists at home and abroad, and becomes one of the hot issues in the world. In this project, we consider the weak solutions of a wave system modeling nematic liquid crystal, mainly including the Lipschitz continuity of energy conservation solutions as well as the global existence and uniqueness of dissipative solutions. The study of this kind of model will not only improve our understanding of theories of quasi-linear hyperbolic partial differential equations, but also provide some theoretical support for background subject, background industry and numerical simulation.

随着液晶材料在轻薄型的显示材料中日益广泛的应用，近年来液晶的数学理论引起了国内外众多数学家和物理学家的关注，成为研究热点之一。本项目拟围绕液晶波动方程组的弱解问题进行研究，主要包括能量守恒弱解的Lipschitz连续性以及能量耗散弱解的整体存在性和唯一性等数学理论问题。对这类模型的研究，不仅能充实拟线性双曲型偏微分方程理论，而且随着问题的解决也将为背景学科和背景行业以及数值模拟提供理论上的支撑。

偏微分方程是现代应用数学的重要学科之一，通过研究方程解的适定性可以描述、解释和预见物理、力学、生物等学科中的一些特有现象。本项目主要研究Camassa-Holm方程、一般的拟线性波动方程、液晶波动方程组及可压缩magneto-micropolar流体方程组这四类重要的偏微分方程，包括：证明了Camassa-Holm方程能量耗散弱解的唯一性；得到了一般的拟线性波动方程能量守恒弱解的唯一性；构造了液晶波动方程组的能量守恒弱解的Lipschitz度量，使得守恒弱解在该度量下是Lipschitz连续依赖于初值的；从数学上严格证明了可压缩magneto-micropolar流体方程组在周期域上时间周期解的存在唯一性。这些研究，不仅能充实偏微分方程理论，而且为后续研究和解决实际应用中出现的问题提供理论支持。