复杂无界区域上非线性问题的数值算法研究

The studies of numerical algorithms for nonlinear problems in complicated unbounded domains is one of challenging and hotspot fields for researchers of computational mathematics recently. In this project, we study some exterior problems with application background, such as nonlinear time-dependent problems, multi-scale electromagnetic problems with small period media, nonlinear incompressible problems, quasi-Newtonian Stokes flows, and anisotropic quasi-linear problems. By virtue of the principle of natural boundary reduction and series expansion of special functions, we study the exact and approximate artificial boundary conditions for the problems talked above, and analyze the feasibility of artificial boundary methods and the coupling of natural boundary element and local discontinuous Galerkin methods. Moreover, the research of this project first generalizes the domain decomposition algorithm based on natural boundary reduction for exterior linear problems to exterior nonlinear problem, constructs the basic frame of domain decomposition algorithms to solve the problems of interest. The project belongs to one of the most active and challenging research at present, it is helpful to solve exterior nonlinear problems, further extends the scope of natural boundary element method, and it is significant in theory and application.

复杂无界区域上非线性问题数值方法的研究，是当前备受国内外计算数学研究者关注的具有挑战性的热点研究领域之一。本项目将选择具有实际应用背景的一些无界区域问题，如非线性依赖时间问题、小周期介质中的多尺度电磁问题、非线性不可压弹性问题、拟牛顿Stokes流问题、各向异性拟线性问题等作为研究对象，借助于自然边界归化原理及特殊函数的级数展开法，研究相应问题的精确或近似人工边界条件；分析用人工边界方法及自然边界元与局部间断Galerkin有限元耦合法求解非线性问题的可行性。此外，本项目的研究首次将基于自然边界归化的线性外问题的区域分解算法推广到求解非线性外问题，建立求解非线性外问题的区域分解算法的基本框架。本课题属于目前国际上数值计算领域十分活跃又亟待解决的非常困难的课题，它的研究将有效地推动非线性外问题的数值计算问题的解决，进一步拓宽自然边界元方法的适用范围，具有十分重要的理论意义和应用价值。

许多物理问题均可转化为无界区域上的偏微分方程问题. 本研究, 基于自然边界归化理论和求解外问题的区域分解的思想, 研究了若干非线性问题的数值方法..首先，基于 Kirchhoff 变换和自然边界元方法, 用自然边界元和有限元耦合法研究了有界或无界凹角扇形区域上的一类拟线性问题及具有椭圆人工边界的各向异性拟线性问题的数值方法..其次, 基于自然边界归化原理, 给出了具有椭圆及圆作为人工边界的一类各向异性拟线性外问题的 D-N 交替算法. 由自然边界归化, 得到了人工边界椭圆及圆上的自然积分方程, 构造了 D-N 交替算法, 并讨论了这一算法的收敛性..最后, 讨论了用自然边界元与有限元耦合法来解决一类无界区域上的拟线性不可压弹性问题. .课题组还研究了其它一些相关问题..本项目已完成学术研究论文13篇，其中已发表8篇，投稿3篇，拟投稿2篇.培养硕士研究生4人，获得江苏省优秀青年骨干教师（青蓝工程）1项..我们长期坚持举办了由本项目负责人、项目组多数成员、及硕士参加的研讨班.参加国内学术会议4人次，并作学术报告1次..本项目已圆满完成了预定计划的研究工作，继续深入的研究仍在进行中.