Camassa-Holm方程及其相关的新方程的若干问题研究

本项目主要对Camassa-Holm方程及其相关的六个具有尖峰孤立子解和激波解的新方程的若干问题进行研究。关于CH方程,主要研究与之有关的一些重要新问题和未解决问题。关于六个新方程,主要研究方程的初值问题和初边值问题的局部适定性，强解的爆破和整体存在性，整体弱解的存在性和唯一性，行波解、尖峰孤立子解和激波解的轨道稳定性以及它们相互碰撞作用的数值模拟。 CH方程是新近发现的能描述孤立子和波破裂现象的重要可积浅水波方程，近年来，得到了广泛的关注和研究。本项目拟对CH方程及其相关的六个新方程的上述问题研究，有助于我们从数学角度对孤立子和波破裂现象加以深刻描述和刻划，从不同的物理背景加以理解和认识孤立子和波破裂这两个重要的物理现象。因此本项目的研究在数学理论和物理应用方面都有重要的意义。

本项目主要对Camassa-Holm方程及其相关的几个新的数学模型的相关问题进行了广泛和深入的研究。具体针对两个分量的Camassa-Holm方程，修正的两个分量的 Camassa-Holm方程和两个分量的Degasperis-Procesi方程等多个新方程的局部适定性，强解的爆破和整体存在性，整体弱解的存在性和唯一性，守恒弱解的存在性和唯一性，解析解的存在性，以及尖峰孤立子解的轨道稳定性等问题进行了细致深入的研究，推广和改进了原有的理论，并在所研究的各个方面都取得了较大的突破和进展。所得的研究成果在数学理论上对孤立子和波破裂现象这两个重要的物理现象的理解和认识有很大帮助和贡献。