高阶Camassa-Holm方程及相关问题研究

The object of this study is higher-order Camassa-Holm equations which is relation with dispersive shallow water wave and geodesic.To investigate the local ang global well-posedness on Cauchy problem of this equation under critical and sub-critical using Borgain technology.The Blow -up solution would be study using some monotonic quantity and persist regular,By bifurcation theory,travel wave to solve the equation,soltary solution is expected.The dynamical behaviours of the Cauchy problem of higer-order Camassa-Holm equation would be investigated applying numerical technology and metric analysis.We expect to discover more essential relation within higher-order Camassa-Holm equation and shallow water wave and geodesic flow,furthermore。Notice that the higher-order Camassa-Holm equation can be regard as a qusi-linear equation under pesudo-differential operator,which expressing nonlocal effect to fluid model.it inspire us to study orther shallow water equations such as D-P equation ,DGH equation,etc under the pesudo-differential operator,and to enrich some theory about pesudo-differential operator

本课题的研究对象是与色散浅水波方程及测地线紧密相关的高阶Camassa-Holm方程及相关问题。利用Bourgain技术研究该方程Cauchy问题在临界和次临界的局部适定性和整体适定性。用单调量及正则保持研究该方程Cauchy问题解的Blow-up现象。利用分叉等理论方法研究该方程的行波解以期获得孤波解。通过数值技术和度量分析探究该方程Cauchy问题解的长时间动力学特征及斑图。希望通过本课题的研究能揭示高阶Camassa-Holm方程与色散浅水波方程及侧地线流之间更深刻的本质关系。注意到高阶Camassa-Holm方程可视为拟线性方程在高阶拟微分算子作用的结果，表达了非局部的因素对模型的影响，由此启示我们可以进一步考察这种非局部因素影响下的其它浅水波方程，如高阶D-P方程，高阶DGH方程等，丰富拟微分算子的相关理论。

2003年，A.Constantin和B.Kolev研究了平面上单位圆周 上光滑保向微分同胚流形 ，利用Lie群和Riemaiann结构，导出了测地线流方程 ，由侧地流方程得到高阶Camassa-Holm方程，简称高阶CH方程.从现有的研究中我们知道Bugers方程与CH方程有许多相似的性质，但是更重要的是它们的差异性，如哈密顿结构，尖峰解，blow-up等。对于 的高阶CH方程与经典CH方程之间的共性与差异性恰是我们的兴趣所在。与此同时，对于KdV方程，CH方程等，由于调和分析技术特别是Bourgain技术的发展，低正则性的适定性问题已获得了重大的进展，非光滑解，解的长时间动力学行为的刻画也有了新的突破，在此基础上，高阶CH方程的适定性，特别是临界和次临界适定性问题将成为偏微分方程研究中的又一个热点之一。同时，行波解，Blow-up，解的几何特性与分析性质，方程斑图表述与刻画 等方面的问题也将构成高阶CH方程研究中的重要内容。本项目得到的重要结果有以下几个方面：一、在一定的光滑条件下，高阶Camassa-Jolm方程的Cauchy问题是适定的。在周期条件下，二阶Canassa-Holm方程Cauchy问题的解释Lipschitz连续的；二、二阶Camassa-Holm方程Cauchy问题同样存在Biow up解，且其blow up点集是测度有限的；三、给出了高阶Camassa-Holm 方程行波方程和行波解，证明了行波解的某种意义的稳定性，揭示了孤波的奇性与仿微分算子阶数之间的联系；四、研究了孤立波方程解曲线的几何性质演化，为斑图研究提供了可行的途径。