几类二维双曲守恒律系统的相关问题研究

The project will studies the correlative problems for sevral types of two-dimensional hyperbolic systems of conservation laws. (1) For the general hyperbolic systems of conservation laws, especially multidimensional cases, by solving Riemann problem, explicit formulations of delta shock waves will be established. The mathematical mechanism on delta shock waves arising in over two state variables will be explored. Thus the mathematical theory of delta shock waves will be developped. (2) Two-dimensional Riemann problems with the different initial data for a class of 2×2 hyperbolic systems of conservation laws will be solved, the criterion of appearance of Mach-reflection-like configuration will be given. The phenomena on Mach-reflection-like configuration involving delta shock waves will be also studied. (3) Several kinds of two-dimensional Riemann problems with the different data for the modified Chaplygin Euler equations will be extensively considered and solved through the theory and numerical computation.(4) The Euler equations and its closely related pressure-gradient equations in gas dynamics will be greatly studied. With the help of theory and numerical computation, some initial problems possessing typically physical characters will be solved. Furthermore, the project will take efforts to prove the conjectures on two-dimensional Riemann problems for the equations above and solve some international open problems.

本项目研究几类二维双曲守恒律系统的相关问题：（1）对一般双曲守恒律系统，特别是高维守恒律系统，通过求解Riemann问题，建立狄拉克激波的显示表示，揭示狄拉克激波可能出现在两个以上状态变量中的数学机理，发展狄拉克激波的数学理论。（2）对一类2×2的双曲守恒律系统，解决几类具有不同初值的二维黎曼问题，给出类马赫反射结构出现的条件；研究涉及狄拉克激波的类马赫反射结构等现象。（3）对修正的Chaplygin气体欧拉方程组等进行深入研究，借助理论和数值计算，解决几类具有不同初值的二维Riemann问题。(4）对空气动力学欧拉方程组及密切相关的压力梯度方程组进行深入研究，解决几类具有典型物理特征的初值问题，力争在欧拉方程组及压力梯度方程组的二维Riemann问题猜想的严格数学证明中有所突破，解决一些国际热点问题。

非线性双曲守恒律系统广泛来源于空气动力学，流体力学，天体物理学，燃烧理论等，在理论、数值和实际应用研究方面都具有重要意义，尤其它的理论研究包含着许多有待解决的重要数学问题。狄拉克激波表达了质量集中的现象，已被深入地研究并进入了一个较为活跃的时期。欧拉方程组及其相关问题一直是国际上的重要研究课题。等熵和绝热欧拉方程组的二维黎曼问题及其重要猜想依然是国际研究的热点和公开问题。高维问题的研究几乎没有进展。.主要研究内容：（1）对一类双曲守恒律系统，求解Riemann问题，建立狄拉克激波的显示表示，揭示狄拉克激波可能出现在两个以上状态变量中的数学机理，发展狄拉克激波的数学理论。（2）对一类2×2的双曲守恒律系统，解决几类具有不同初值的二维黎曼问题，给出类马赫反射结构出现的条件；研究涉及狄拉克激波的类马赫反射结构等现象。（3）对欧拉方程组及几类修正Chaplygin气体方程组，分析多参数压力消失或流扰动下狄拉克激波和真空的形成。（4）对相对论欧拉方程组的压力和流扰动问题进行研究。.重要结果：（1）建立了一类非严格双曲守恒律系统的两个状态变量上同时包含狄拉克测度的狄拉克激波的较完整的数学理论，解决了美国UCLA大学 B. Engquist 教授等在1996年提出的一直保持公开的非线性几何光学系统的黎曼问题。（2）提出了一种新的流函数近似方法，研究欧拉方程组及零压流系统关于狄拉克激波和真空形成的现象；研究相对论欧拉方程组的流扰动问题，发现了两类有趣的U-型拟真空状态解和参数化的狄拉克激波解，并给出了黎曼解的极限分析；针对几类修正Chaplygin气体方程组，确认了多参数压力消失或流扰动下狄拉克激波形成和集中现象的三类机制。这些工作扩展了先前的结果和证明。（3）考虑一个2×2各向异性的油井中描述聚合物驱油过程的非线性双曲守恒律方程组具有几类不同初值的二维黎曼问题，研究了解中出现类马赫反射结构现象的条件。这些工作对于进一步研究高维黎曼问题打下了基础。