弦对偶在几何拓扑中的应用

The last few decades, we have witnessed the great development of string theory and its powerful impact on mathematics. The string dualities have the deep applications in mathematics. The string theory has different descriptions which connect to different mathematics. By string dualities, one can predict the relations between them. With such ideas, mathematicians and physicians have discovered many beautiful and important formulas which promote the development of mathematics. The mirror symmetry which connects the topological A-model and B-model and the Chern-Simons/topological string duality are the two most important dualities in topological string theory. In the recent few years, physicians discovered that the topological string B-model can be reconstructed by the topological recursion relations. The goal of this project is to study the applications of topological recursion relations in geometry and topology. .(1).The BKMP conjecture exposits that the Gromov-Witten theory on toric Calabi-Yau 3-folds can be reconstructed by the topological recursion relations on the corresponding mirror curves. We will study the BKMP conjecture of the resolved conifold and hope to give its rigid proof. .(2).By mirror symmetry and Chern-Simons/topological string duality, we will use the topological recursion relations to study the quantum invariants of knots..(3).We will also use the topological recursion relations to study the Gromov-Witten theory of P^1. We hope to find the relations of Gromov-Witten of P^1, such that its Lapalace transformation satisfies the corresponding topological recursion relations.

过去几十年，弦理论对数学的发展产生了巨大影响。弦对偶思想在数学中有深刻应用。弦理论的不同描述方式，对应不同的数学理论。弦对偶思想预测了不同数学理论之间的联系。用这种想法，数学物理学家发现了很多重要的数学公式，推动了各个数学领域的发展。联系拓扑弦A-模型与B-模型的镜像对称和Chern-Simons/拓扑弦对偶是其中两个最重要的对偶性原理。近几年，物理学家发现拓扑弦B-模型可用拓扑递归关系构造，本项目的主要目标就是研究这种B-模型的拓扑递归关系在几何拓扑中的应用。.（1）BKMP猜想阐述toric 卡丘3-流形的Gromov-Witten理论可由拓扑递归关系来构造，我们将研究resolved conifold情形的BKMP猜想，希望给出严格证明。（2）通过镜像对称和Chern-Simons/拓扑弦对偶，用拓扑递归关系方法来研究纽结的量子不变量。（3）用拓扑递归关系研究P^1的GW理论。

本项目名称为“弦对偶在几何拓扑中的应用”，其动机起源于近几十年来物理中超弦理论的发展，对数学的发展产生了重大的促进作用。这种影响表现在利用弦对偶的思想，在不同的数学领域之间建立了深刻的联系，这种联系揭示了很多数学中原本未知的新现象，以及提出了很多新的数学问题。..在本项目基金的资助下，我们主要完成了以下工作：.(1) 发表了弦理论中BKMP猜想的一种特殊情形也就是Bouchard-Sulkowski猜想的证明，文章发表在2015年的Math. Res. Lett.上。.(2) 研究了Orbifold Hurwitz数的切割连接方程，得到了Hurwitz-Hodge积分的计算公式，文章发表在2015年的Ann. Comb.上。.(3) 证明了纽结理论中染色 HOMFLY不变量的一些基本性质，包括极限行为和对称性等，证实了相关物理学家的猜想。该工作发表于2013年的JHEP 上。.(4) 对于染色的HOMFLY不变量，我们提出了一种全新的Skein 关系。这种关系是经典的HOMFLY纽结不变量的Skein关系的推广。同时，我们还得到了染色的Jones多项式在单位根的周期性质，并且对于一般的SU（n）不变量，我们也得到了类似的性质。.(5) 证明了其他类型的量子不变量染色的Kauffman多项式以及Composite不变量的极限性质和对称性质，同时，我们也发现了它们满足的推广的Skein关系。.(6) 对于SU（n）不变量，我们提出了更一般的体积猜想，以及Cyclotomic展开公式，推广了染色的Jones多项式的相关结论。