超Virasoro代数的结构和表示

超Virasoro代数（或者称为超共型代数）是近三、四十年来出现的一类李超代数，此类代数有着较强的物理背景，逐渐被很多数学和物理工作者注意。目前，此类代数的较为简单的情况：N=1的情况已有较多结果，但是对于比较复杂的情况（N大于等于2时）至今还没有很多问题等待解决。.本课题拟从N=2的超Virasoro代数入手，对其结构和表示理论进行研究。目前，对于两类N=2的超Virasoro代数的中间序列模已经有了较为完整的分类。对于N=2的情况，本课题旨在讨论其一致有界模的结构与分类，Verma模的结构并对权空间的维数进行一些讨论。对于更大的N，将首先从结构方面入手，考察其中心扩张、自同构群、导子代数的结构等方面，进而再对其表示理论进行探讨。本课题的工作将为此类代数的进一步研究提供理论依据，对于推动超Virasoro代数的结构和表示理论的发展较有意义。

本课题从N=2的超Virasoro代数入手，对其结构和表示理论进行研究。我们讨论其一致有界模的结构与分类，Verma模的结构并对权空间的维数进行一些讨论。项目开始执行以来，我们一直按照计划开展研究工作，首先研究了广义超Virasoro代数的导子和自同构群，对导子和自同构群的结构给出了完整的刻画。在研究N=2的广义超Virasoro代数的导子和自同构群时我们的研究涉及到另一个代数：W(a,b)。我们已知不存在Heisenberg-Virasoro代数的混合模。 W(a,b)可以看做是无中心的超Virasoro代数的偶部分的推广，我们自然想到W(a,b)是否存在混合模。我们讨论了当a为整数，b为任意数时，其不可约表示的权空间维数。我们得到作为W(a,b)的不可约模V，要么权空间维数都是无限的，要么权空间维数都是有限的，即同样不存在W(a,b)的混合模。进而如果V是有一个权空间的维数是有限的，则V必是一个W(a,b)的Harish-Chandra模。随后我们将研究的结果应用到广义Toroidal代数上。我们在广义Toroidal代数中找到一个Virasoro子代数，根据对central charge的讨论给出了其一类不可约可积表示的分类、并刻画每一类表示的具体结构。在项目的研究过程中我们的工作又涉及到一类与李代数密切相关的代数结构：顶点算子代数。我们发现我们得到的很多结果都可以应用到顶点理论中，进而得到顶点理论中一些有用的结论。所以我们利用Virasoro代数的不可约酉表示给出了一类顶点算子代数，Code顶点算子代数的实现，使得接下来对Code顶点算子代数研究可以有一个比较直观的展现。