多参数调和分析及海森堡群上的最优几何不等式

The main purpose of this proposal is to study problems in two main directions in harmonic analysis: boundedness of multiparameter and multilinear Calderon-Zygmund operators on multiparameter Hardy spaces and harmonic analysis on the Heisenberg group and best constants and extremal functions for sharp geometric inequalities on the Heisenberg group. The theory of multiparameter Hardy spaces and multiparameter and multilinear Calderon-Zygmund singular integral operators is a central part of classical harmonic analysis. Harmonic analysis on the Heisenberg group is one of the most important subjects in harmonic analysis. Sharp geometric inequalities on the Heisenberg group and extremal functions is a substantial component of analysis and geometry on the Heisenberg group. Sharp geometric inequalities have important applications in partial differential equations. The new ideas and methods developed through the completion of the projects proposed here will make a significant contribution to the further development of harmonic analysis and partial differential equations.

本项目主要是研究调和分析中两个重要方向的问题:　 多参数Hardy空间上多参数的多重线性的Calderon-Zygmund算子的有界性以及海森堡群上的调和分析和几何不等式的最佳常数以及极值函数问题。多参数Hardy空间理论以及多参数多线性Calderon-Zygmund奇异积分算子理论是经典调和分析的核心内容之一。 海森堡群上的调和分析是调和分析领域极具生命力的热点问题之一。海森堡群上的几何不等式的最佳常数以及极值函数问题是海森堡群上的的调和分析和几何的重要组成部分。几何不等式在偏微分方程中有非常重要的应用。本项目的完成对由此而发展起来的新思想，新方法将对调和分析以及在偏微分方程中的应用起到重要的推动作用。

(a)本项目组成员研究和讨论了多参数多线性的拟微分算子、傅里叶积分算子以及希尔伯特变换的有界性; 多参数Triebel-Lizorkin空间的对偶空间；海森堡群、双曲空间上的几何不等式及其最佳常数；半空间上分数阶拉普拉斯算子的Liouville型定理。一系列重要结果在高水平国际SCI期刊《Trans. Amer. Math. Soc. 》、《Nonlinear Anal.》、《J. Differential Equations》、《J. Geom. Anal.》、《Anal. PDE》》、《Forum Mathematicum》等发表，共发表论文21篇，顺利完成了研究计划。.(b)陆国震分别与戴蔚、陈焦合作得到了双线性双参数的希尔伯特变换的有界性和带有有限光滑性的Hormander型乘子在双线性双参数的有界性结果。.(c)丁卫、陆国震合作首次建立了双参数Triebel-Lizorkin空间的对偶空间。.(d)陆国震、唐晗力、朱茂春等使用水平集方法具有最佳增长的欧氏空间上高阶Adams的不等式 陆国震、唐晗力合作建立了双曲空间上具有最佳增长的Moser不等式。这些方法克服了在缺乏重排工具时几何不等式证明的不便。.(e)李霞、陆国震、唐晗立建立了变指数的关于Hormander向量场的彭加莱不等式，李霞、朱茂春研究了变指数次椭圆偏微分方程问题，并使用紧性方法建立了带有Hormander 条件的散度形式下的抛物方程的内正则性。.(f)建立了具有非光滑相函数和振幅函数的多参数多线性傅里叶积分算子的Lp有界性估计。