具间断系数非线性退化椭圆问题的正则性研究

偏微分方程正则性一直是数学研究的前沿问题,本项目研究满足几种不同约束条件的、关于自变量具有间断系数的非线性退化椭圆问题弱解梯度在Morrey空间、广义Morrey空间和Orlicz空间的内部正则性和全局正则性、完全正则性和部分正则性；分别研究定义在欧氏空间上的非线性椭圆算子和定义在分层幂零Lie群(如Carnot群和Heisenberg群)的次椭圆算子的正则性问题、Green函数性质和其先验估计,并考虑Green函数在相应椭圆方程内部正则性的应用;研究具有非光滑边界（如：具Reifenberg边界区域）退化椭圆方程边值问题的整体正则性.该研究将在很大程度上丰富了偏微分方程和几何分析领域的理论和方法。

在该面上基金的大力支持下,我们按期完成了课题的预期目标,主要成果体现在如下三个方面: 1.建立了退化X-椭圆算子的Green 函数性质和先验估计,并首次应用其估计式建立了非线性X-椭圆方程的正则性; 并得到外区域上p-次Laplace型退化次椭圆拟线性方程的Liouville定理。 2. 在4维情况下,分别建立了到球面和一般Riemann流形上的逼近双调和映射能量恒等式以及在相应热流问题上的应用; 得到映到Riemann流形上的双调和映射在弱拓扑下的紧性; 在平面上得到指定平均曲率曲面方程的能量量子化并考虑其在有关热流上的应用. 3.对于具有间断主项系数的拟线性椭圆方程, 得到在自然增长条件下的最优正则性估计; 在可控增长条件下,得到具有VMO间断主项系数的拟线性椭圆方程组在Morrey空间正则性.我们的多项成果发表在国际的重要刊物上,如:Trans. Amer. Math. Soc., J. Functional Analysis., Discrete Conti. Dyn. Syst. A/B, IMA J. Applied Math., Electronic J. Differential Equations等。另外，针对本课题的研究，我们访问了国外知名大学数学系，并得到邀请报告和学术交流，参加在国内外召开的国际会议，并做邀请报告。同时课题的实施过程中培养该研究方向的若个博士和硕士研究生。