突变微分方程与闵可夫斯基问题

Fluid dynamicists have long known that the appearance of boundary layers in which nonlinear singular elliptic equations arise. Since then much attention has been paid upon the weak singularity. Our previous work have established the compatible theorem which is optimal for $H_{0}^{1}$-solutions of strongly singular elliptic problems for all $-p<-1$. The next step of our work is to study the combined effects of nonlinearities for strongly singular equations. The Minkowski problem is one of the central problems in convex geometric analysis. The next step of our work is to study Orlicz Minkowski problem most recently proposed by Haberl et al. in 2010.

非线性突变型椭圆偏微分方程是自然界突变现象的数学模型，比如流体力学中的边界层现象，传输带上的流场，甚至冰山的移动中都出现了这种模型。为解决实际应用中产生的问题，我们需要对该类型方程进行系统的研究。我们前期的工作建立了针对全体小于-1负数的突变型偏微分方程基本模型可解性的相容性定理和解的渐近估计。在此基础上，我们将研究复杂情形下的强突变方程问题。闵可夫斯基问题是凸几何分析的核心问题之一，我们将进一步研究最新的Orlicz闵可夫斯基问题以及某些条件下等价的Monge-Ampere方程。

非线性突变型偏微分方程是自然界突变现象的数学模型，比如传送带上方的流场、冰山的移动都出现了这种模型。为解决实际应用中产生的突变问题，我们需要对该类型方程进行系统研究。本项目研究了Kirchhoff型和矩阵型强奇异偏微分方程，给出了解的存在性和解的渐近估计结果。Minkowski问题是凸几何的核心问题，这个问题联系了几何、泛函和偏微分方程多个方向。本项目研究了Minkowski 问题中具有一般非线性项的Orlicz Minkowski 问题，得到了平面Orlicz Minkowski问题中非线性项含0<p<1和p=0项奇异情形下convex body的存在、不存在和唯一性结果。