闵可夫斯基空间中极值曲面的研究

The important of the extremal suface in Minkowski space was elaborated by Prof. Brenier on his talk in 2002 ICM (International Congress of Mathematicians). This project contains the stability of traveling wave solutions, global solutions to the mixed type extremal surface and high dimensional timelike extremal surface in exterior domain and related physical models. Therefore, this research will provide the theoretical foundation for the geometrical surface theory and particle physics...Based on our obtained works about the asymptotic behavior and global existence of the classical solutions of Cauchy problem and the mixed initial-boundary value problem for the time-like extremal surface in Minkowski space, we will consider the following issues:.Case 1: in one space dimensional Minkowski space.1) The stability of traveling wave solutions of Cauchy problem (initial-boundary value problem) to the equation of time-like extremal surface..2) The global existence of classical solutions to the mixed type extremal surface in Minkowski space with the mixed initial data..3) The stability of travelling wave solutions to Cauchy problem of Faddeev model in particle physics..Case 2: in (1+2+1) dimensional Minkowski space.The global existence of classical solutions to the time-like extremal surface in exterior domains with homogeneous (or inhomogeneous) boundary conditions which is one of open problems in the field of nonlinear wave equations.

2002 年Brenier 教授在国际数学家大会报告中阐述了闵可夫斯基空间极值曲面及相关物理模型在研究几何学和粒子物理中的重要意义。本项目将主要研究闵可夫斯基空间中的时向极值曲面行波解的稳定性、高维外问题及混合型极值曲面解的整体适定性等有重要物理和理论意义的数学问题。特别地，我们将主要研究如下内容：一、在一维空间情形：1)研究时向极值曲面方程柯西问题和混合初边值问题行波解的稳定性；2)研究混合型极值曲面带混合型初值问题的整体解存在性；3)粒子物理中重要的Faddeev 模型柯西问题行波解的存在性与稳定性。二、在以上基础上，力争对(1+2+1)维情形的时向极值曲面在任意时向平面内的星型区域外问题的整体经典解这一重要公开问题取得进展或者突破。

极值曲面方程是几何学中非常重要的方程，其研究与粒子物理中的相关模型有着重要的联系。国内外很多专家都进行研究过，如国内的谷超豪教授就对混合型极值曲面利用几何构造的方法给出了整体解。2002 年Brenier 教授在国际数学家大会报告中阐述了闵可夫斯基空间极值曲面及相关物理模型在研究几何学和粒子物理中的重要意义。本项目将主要研究闵可夫斯基空间中的时向极值曲面行波解的稳定性、高维外问题及混合型极值曲面解的整体适定性等有重要物理和理论意义的数学问题。.在本项目的资助下，一、在一维空间情形：1)我们得到了时向极值曲面方程柯西问题行波解的存在性和稳定性；对相应的在第一象限内的混合初边值问题同样得到行波解的存在性和稳定性；2)得到混合型极值曲面带混合型初值问题的附近解的局部存在性，为进一步研究整体存在性提供了相应的方法；3)给出粒子物理中重要的Faddeev 模型柯西问题的行波解和该模型的相关性质，为行波解的稳定性提供基础。以往绝大部分结果都是对小初值或者边值的研究，这些结果给出了一维整体经典解初值问题和初边值问题一类大解的适定性研究，并且对混合型方程局部解和整体解研究也是微分方程的一个难点；研究结果发表在国际学术期刊。二、得到(1+2+1)维情形的时向极值曲面在任意时向平面内的的小初值问题的整体存在性；同时对任意时向平面内的圆形区域外问题的整体经典解。力争对公开问题-相关的星型外区域问题有所突破。这是这一重要几何方程的一类大解结果，对高维波动方程小初值整体解理论也是重要的补充。