分布依赖的奇异随机微分方程的遍历性

The ergodicity for Markov processes is one of central topics in the probability theory, and a lot of remarkable results are obtained on the ergodicity of stochastic differential equations with regular coefficients. However, for equations with coefficients that only satisfy certain integrability condition, existing tools (e.g. Lyapunov conditions, functional inequalities) cannot be applied directly. We shall study the exponential convergence of solutions to stochastic differential equations with singular coefficients, regime-switching singular diffusion processes and distribution dependent stochastic differential equations under the framework of Fokker-Planck-Kolmogorov equations, then give quantitative results on the influence of the singular part and the distribution dependent part of the equation on the ergodicity. To develop new tools for the research on the singular and the distribution dependent stochastic equations, we would establish a new Zvonkin's transformation to control the singular part and the distribution dependent part by the dissipative part of the equation. Moreover, we shall introduce new integrability conditions to ensure the existence and uniqueness of the stationary distribution for regime-switching singular diffusion processes.

马氏过程的遍历性是概率论的核心研究课题之一，对于正则的随机微分方程的研究已非常丰富. 而当方程的系数仅具有某种可积性时，已有的工具和方法(如Lyapunov条件、泛函不等式等)难以直接应用. 本项目将在Fokker-Planck-Kolmogorov方程的框架下，分别对系数奇异的随机方程、带切换的奇异扩散过程和系数依赖分布的随机方程，探究相应马氏过程的指数收敛性及收敛速率的估计，从而定量地刻画奇异和依赖分布的部分对遍历性的影响. 为此，我们将构建新的Zvonkin变换以利用方程的耗散部分来控制奇异和依赖分布的部分，以期为研究系数奇异和依赖分布的方程的遍历性发展新工具. 我们还将提出新的可积性条件，以保证奇异的带切换扩散过程平稳分布的存在唯一性.

系数奇异的随机微分方程和依赖分布的随机微分方程有强的物理和金融背景，项目主要研究了奇异扩散过程的泛函不等式、系数奇异的随机微分方程的欧拉算法、分布依赖的随机微分方程的遍历性等，取得了一些新的研究成果，包括对布朗运动驱动的系数奇异的随机方程，建立了新的Zvonkin变换并以此得到了转移半群的Wang’s Harnack型不等式，对过程片段的分布建立了Talgrand型运费-信息不等式；对于布朗运动驱动的随机方程，给出系数奇异时向前欧拉数值策略按强、弱两种意义下收敛到真实解的显式收敛速度，对分数布朗运动驱动的具有非Lipschitz系数的随机方程，给出分布密度估计以及欧拉数值策略的收敛速度；对分布依赖的随机微分方程，探讨了平稳分布的存在性、唯一性和非唯一性的判据，在平稳分布唯一的情况下，给出Wasserstein距离下收敛到平稳分布的速度估计。项目研究的泛函不等式、提出的判据及收敛速度丰富了随机微分方程遍历性的理论，数值计算则从实用角度加深了对奇异方程分布性质的理解。