带切换的随机偏微分方程的强解与强Feller性之研究

This project aims to study the existence, uniqueness, non-explosion and strong Feller property of the solutions of stochastic partial differential equations(SPDEs) with state-dependent switching. Our discussion will carry out within the frameworks introduced by Da Prato & Zabczyk, and by Pardoux, Krylov & Rozovskii respectively. Especially, we shall prove the existence and uniqueness, non-explosion of strong solutions of some state-dependent switching semilinear SPDEs with irregular(such as Dini-continuous) coefficients, and furthermore, concern the integrability conditions on the coefficients to ensure the non-explosion. Lastly, we shall study the strong Feller property when the SPDE has a unique non-explosive strong solution.

本项目主要研究带依状态切换的随机偏微分方程强解的存在唯一性、非爆炸性、强Feller性。我们将分别在Da Prato和 Zabczyk的半群方法框架下，以及Krylov和Rozovskii、Pardoux的变分方法框架下讨论。特别的，我们将证明一些系数非正则(如Dini-连续)的带依状态切换的随机半线性偏微分方程的强解存在唯一性，给出解非爆炸的条件，进一步考虑用可积性刻画的带切换的随机偏微分方程解非爆炸的条件。最后，在解存在唯一且非爆炸的基础上考虑转移半群的强Feller性质。

本项目主要研究了带切换随机偏微分方程在解析弱解、变分强解、温和解意义下解的存在唯一性、非爆炸性。对带切换随机方程证明了转移半群的强Feller性。对Gruschin半群，我们建立了半群的对数Harnack不等式。本项目最主要的结果是给出带切换局部单调随机偏微分方程变分强解的含义，其中每个状态下的局部单调算子可以属于不同的Gelfand三元组。解存在唯一性的证明不依赖于方程系数满足的具体的正则性条件，因此适用于带奇异系数的方程。本项目的另一个结果是证明了当出发状态的随机方程的转移半群是强Feller的，则带切换随机方程转移半群在该状态的值依然还是强Feller的。这个进展使得带切换模型可以用来刻画更复杂的随机偏微分方程系统, 对带切换随机方程的强Feller性给出了较清晰的刻画。Gruschin半群对应的随机微分方程在形式上和带切换过程的是相似的，都是两个分量的过程，且其中一个分量是跳过程，并决定了另一个分量所满足的方程的漂移和扩散系数的变化。这部分结果超出原计划的预计。