退化Lévy过程驱动的随机（偏）微分方程遍历性

The ergodicity of stochastic partial differential equations driven by degenerate Lévy noises is the key point and aporia of stochastic analysis theory. As an important class of Markov processes, the properties of Lévy processes are different from Wiener processes greatly. Due to the lack of research tools, the development of stochastic (partial) differential equations lag behind relatively. This project will focus on the following two parts: 1. study on the Bismut type derivative formula and ergodicity of SDEs driven by degenerate Lévy noises; 2. study on the gradient estimates, regularity of finite-dimensional distribution and exponential ergodicity of 2D stochastic Navier-Stokes equations forced by degenerate Lévy processes.

退化噪声驱动的随机（偏）微分方程的遍历性是随机分析理论研究的重点和难点之一。作为一类重要的马氏过程，Lévy 跳过程与维纳过程在性质上有很大的区别。由于研究工具的相对匮乏，退化Lévy 跳过程驱动的随机（偏）方程发展相对滞后。本项目拟从以下两个方面开展研究工作：1、研究退化跳过程驱动的随机微分方程的 Bismut型导数公式及遍历性；2、研究退化跳过程驱动的二维Navier-Stokes方程的梯度估计、有限维分布的正则性及系统的指数遍历性。

Lévy过程驱动的随机（偏）微分方程(简称S(P)DEs)因能更真实地刻画随机系统的时间演化规律，近年来受到越来越多的研究学者的兴趣。特别地，关于带有Lévy跳的S(P)DEs解的转移函数的正则性及遍历性研究是当前随机分析研究领域的热门专题之一。正则性研究从随机分析的角度为研究非局部算子提供了一种有效的途径。同时，有效的梯度估计有助于人们对于遍历性、泛函不等式、热核估计等方向深入研究。而对遍历性的研究可以更清楚地理解动力系统的极限状态及相关的数学和物理性质.以Wiener-Poisson泛函的Malliavin分析理论为技术工具，本项目深入研究了跳过程驱动的SDEs解的转移函数的梯度估计、密度函数存在性和光滑性及指数遍历性。项目的主要研究内容和所取得的结果如下：①给出了一类Wiener-Poisson泛函最大值过程密度函数存在性的充分条件。最为应用，证明了一类退化Levy过程驱动的随机微分方程最大值过程密度函数的存在性；②研究了非柱形无穷维Lévy过程驱动的随机偏微分方程的指数遍历性；③研究了具有双扰动的Lévy过程驱动的随机微分方程密度函数的存在性；④研究了带有Lévy跳的随机均值微分方程的转移函数的正则性及指数遍历性。