FENE哑铃模型与三分量Camassa-Holm系统的若干问题研究

In this project, we mainly study the Cauchy problem of the FENE dumbbell model and the three component Camassa-Holm system. Because these two kinds of partial differential equations describe the motion of the polymeric flows and shallow water waves respectively, they have important physical significance. For the FENE dumbbell model, we mainly study the local wellposedness; global existence for strong solutions; existence, uniqueness and decay properties of global weak solutions. For the three component Camassa-Holm system, we mainly study the global existence and blowup phenomenon; existence and uniqueness of global weak solutions; orbital stability of peakon solitons. The above problems have not yet be fully solved. Hence, in this project we will apply the harmonic analysis and weak convergence method to study these problems, and obtain some further theoretical results.

本项目拟研究FENE哑铃模型和三分量Camassa-Holm系统的柯西问题。这两类偏微分方程分别描述高分子聚合物流体和浅水波的运动规律，有重要物理意义。对于FENE哑铃模型，主要研究其局部适定性；强解的整体存在性；整体弱解的存在唯一性以及衰减性。对于三分量Camassa-Holm系统，主要研究强解的整体存在性和爆破现象；整体弱解的存在唯一性；尖峰孤立子的轨道稳定性等问题。上述问题在这两个模型中仍未完全解决。因此本项目将运用调和分析和弱收敛方法来研究这些内容，取得进一步的理论成果。

本项目研究了两类非线性偏微分方程。第一类是描述聚合物流体动力学行为的FENE哑铃模型。该模型在材料学中，对于聚合物的加工合成有着重要的应用。对于这一模型，我们主要研究其的适定性理论和弱解的L2衰减率。通过Littlewood-Paley分解理论，我们建立了解在更一般的函数空间中的适定性理论。然后利用时频分解的技巧以及带参数的能量估计，最终证明了2维情形下解在L2空间中的最佳衰减率。这一结果回答了M. Schonbeck提出的一个公开问题。 .由于FENE哑铃模型是一个宏观-微观模型，在数值摸拟中有许多人研究其近似方程，其中一个重要的方程为Phan-Thein-Tanner模型，简称PTT模型。对于PTT模型，我们证明了其强解的在一定条件下会发生爆破。如果初值不满足此条件，并且具有小性条件时对应的解则是整体存在的。 第二类是浅水波理论中的可积系统模型，该模型是一个3分量的Camassa-Holm类型方程。 我们主要研究了其解的Gevrey正则性。我们首先证明了一个抽象的CauchyKovalevsky定理，这一定理改进了前人的工作，使其能够适用于更广的函数类。利用这一定理，我们得到了三分量Camassa-Holm方程在Gevrey类中的存在唯一性。