变号非线性微分方程中的数学问题及其应用研究

In depicting many natural phenomena in real world, a large number of uncertain physical variables, parameters and perturbation factors often affect the stability of the whole system. Shown in the mathematical model, it is often transformed into a changing-sign nonlinear differential equation. However, because the sign-changing nonlinear problems are affected by the sign factor so that many methods for handling differential equations such as the qualitative theory of differential equations, the degree theory and partial order theory cannot be applied effectively, so the study for this issues proceeds very slowly. Up to now, there is only some sporadic work to be carried out. This project shall study mathematical problems for the semipositone, perturbation and changing-sign fractional order differential equation, fractional order convection-diffusion equations, partial differential equations with fractional order Pucci’s extremal operators and fractional order HIV biological mathematical models by using lattice theory as well as degree theory of nonlinear operator and qualitative theory of differential equations, the content of study includes the existence and uniqueness of solution, multiple solutions, stability, decay, Solution of continuous dependence on initial value, the bifurcation structure of the solution, algorithm of the approximate solution, the error estimates of solution, convergence of iterative algorithm, asymptotic behavior of the solution at the boundary, numerical computation and numerical simulation of solutions. This project belongs to the frontier of nonlinear differential equations, the research outcome has profound practical background and extensively applicable value.

在刻画现实生活中的许多自然现象时，大量不确定的物理变量、参数以及扰动因素常常会影响到整个系统的稳定性，反映在数学模型上常常转化为变号非线性微分方程。然而由于变号非线性问题受符号因素的影响，使得处理微分方程的诸多数学方法如定性理论、度理论和半序理论等不能被有效利用，因此对此类问题的研究进展极为缓慢，目前只开展了一些零星的工作。本课题拟应用格理论结合非线性算子度理论及微分方程定性理论，研究具有半正、扰动、变号的分数阶微分方程、分数阶对流-弥散方程、含有分数阶Pucci极值算子的偏微分方程以及分数阶艾滋病生物数学模型中的数学问题，研究内容主要包括解的存在性、唯一性、多重解、稳定性、衰减性、解对初值连续依赖性、解的分支结构、近似解求法、近似解的误差估计、构造收敛于解的迭代算法、解在边界处的渐近行为及解的数值计算和数值仿真。本项目属非线性微分方程前沿课题，研究内容具有深刻的实际背景和广泛的应价值。

非线性问题是数学中既有深刻理论意义又有广泛应用价值的研究学科，其中变号非线性问题由于受符号因素的影响，使得处理微分方程的诸多数学方法如定性理论、度理论和半序理论等不能被有效利用。本课题以数学和自然科学中出现的一些变号非线性问题为背景，通过引进格结构并结合非线性泛函分析方法（半序方法、迭代方法、拓扑方法和变分方法），寻找和研究处理变号非线性问题的一些方法，进而利用并结合非线性泛函分析原有的方法研究非线性算子方程解的性质，并利用这些性质来研究微分方程和积分方程、偏微分方程解性质，如解的存在唯一性、多解性、稳定性、衰减性、解的结构、解的收敛迭代算法、误差估计及解在边界处的渐近行为以及解的数值结果和仿真结果。本课题的主要内容包括：1.代数格结构和微分算子度计算。2. 分数阶变号非线性微分方程模型研究。. . 目前本课题发表论文77篇，被CI检索76篇，EI检索1篇，其中高被引论文30篇，成果被引用1377次, 他引用1097次（Web of Science，2020年1月14号查）。获得山东省自然科学三等奖一项（张新光、刘立山、张晓燕、蒋继强）、山东省突出贡献的中青年专家一项（张新光），课题组三位主要研究者张新光、刘立山、吴永洪分获2019年全球高被引学者。张新光教授兼任Curtin University博士生导师并指导毕业博士生（汪洋 Curtin University）一名，刘立山教授指导毕业了4名博士、12名硕士和3名博士后出站。