变号临界点理论及其对非线性微分方程的应用

本项目研究三个方面的问题:(1)研究新的临界点存在性抽象理论并在此基础上讨论多种类型的椭圆问题(Dirichlet边值、 Neumann边值)的正解、负解、变号解的存在性和多重性；(2)结合新的Morse理论研究能量泛函在不满足紧性条件时强共振Neumann边值的椭圆问题多解的存在性（包括非常数正解、负解，变号解）；(3)利用上述新的临界点理论和Morse理论, 研究混合边值微分方程的正解、负解和变号解及各类边值条件下椭圆方程组的解。上述都是非常重要的热点问题，本项目在已有的工作基础上，拟利用一些新的思想和方法来研究这些问题，这些基本问题的研究和解决不仅会推动临界点理论本身的发展，而且为研究非线性微分方程的多重解和变号解提供了基本工具。

非线性微分方程的变号解是非线性分析中非常重要的热点问题，本项目在已有的工作基础上，利用一些新的思想和方法主要研究了三个方面的问题:(1)研究新的临界点存在性抽象理论并在此基础上讨论了多种类型的椭圆问题的正解、负解、变号解的存在性和多重性；(2)结合新的Morse理论，研究了能量泛函在不满足紧性条件时强共振椭圆问题多解的存在性（包括非常数正解、负解，变号解）；(3)利用上述新的临界点理论,讨论了Shrodinger方程的正解和变号解，得到了一系列创新性的结果。