调和分析方法在(时间分数阶)Navier-Stokes方程和趋化流体方程解的性 态研究中的应用

Harmonic analysis methods have known a growing interest in the study of nonlinear evolution equations，which have been widely concerned.The applicant and his collaborators have used the theory of Littlewood-Paley decomposition to study several types of nonlinear evolution equations: chemotaxis system，liquid crystal flows，generalized Magneto-hydrodynamics equations etc，and we have obtained their basic properties.This project aims to apply Littlewood-Paley theory,multilinear estimates, commutator estimates, analytic semigroup theory, Muckenhoupt weight functions theory, multipliers theory and the real-variable theory of function spaces in harmonic analysis to the study the properties of the（time fractional）Navier-Stokes equations and chemotaxis-fluid equations. More precisely, we are focused on the local and (almost) global well-posedness, ill-posedness, large time behavior，Gevrey regularity, and asymptotic limit of solutions to the（time fractional）Navier-Stokes equations and Chemotaxis-fluid equations in some related function spaces.

调和分析方法越来越多地被应用在非线性发展方程的研究中，受到了广泛的关注。申请人及其合作者曾利用Littlewood-Paley分解的相关理论等处理了趋化方程、液晶方程和广义磁流体方程等，获得了这几种方程解的基本性质。本项目拟应用Littlewood-Paley理论、多线性估计、权函数理论、交换子、乘子理论、半群理论以及函数空间的实变理论等调和分析方法进一步对（时间分数阶）Navier-Stokes流体方程和趋化流体方程解的性态进行研究，即建立相关函数空间上的解的局部和(几乎)整体适定性、不适定性、大时间衰减、Gevrey正则性和渐近极限。

应用调和分析技术研究了Navier-Stokes和趋化流等相关偏微分方程中的若干问题，这对调和分析和偏微分方程的理论研究和应用研究起到极大的推进作用。本项目成功获得了算子相伴的BMO型空间具有与热半群相关的Carleson测度刻画，作为应用证明了带纽曼条件的算子相伴的Navier-Stokes型抛物方程在BMO型空间上的适定性；证明了当初值属于临界Besov-Morrey空间时Navier-Stokes-Nernst-Planck-Poisson方程解的全局存在性和Gevrey正则性，基于Gevrey估计证明了方程的解关于空间变量是解析的以及在Morrey空间中解的高阶衰减估计；当初值属于Besov-Morrey空间时，证明了Keller-Segel-Navier-Stokes方程解的存在性和渐近性，作为应用获得了自相似解的渐近稳定性；研究了带有磁阻尼项的二维MHD方程的在Sobolev空间上的一类大初值全局存在性；利用Littlewood-Paley分解和Bony仿积分解、Fourier乘子等调和分析的研究工具与方法研究了双极漂移扩散方程在Fourier-Besov空间上的极限稳定性；利用拉普拉斯算子的正则化效应和科里奥利力的色散效应，证明了旋转Boussinesq方程解在Besov空间上的全局存在性。我们的部分成果已经发表在Journal of Differential Equations、Mathematische Nachrichten,Journal of Dynamics and Differential Equations、Science China Mathematics、Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B、Journal of Mathematical Physics等重要数学期刊上。