基于算子弱型端点估计的若干调和分析问题

This project is to study some behaviors of singular integrals and related operators in the weak type endpoint spaces, which include the following four topics. First, the best constant problems of the weak type endpoint estimates for the truncated maximal singular integrals, Littlewood-Paley g-functions and Marcinkiewicz integrals, the vector-valued Hardy-Littlewood maximal operators，Calderon-Zygmund singular integrals and fractional integrals, the corresponding one-side sigular integrals and the related operators, are considered. Second, the characterization of BMO spaces via the weak type endpoint bounds of commutators for the singular integrals, fractional integrals and maximal functions and the corresponding operators in multilinear setting and one-sided cases, are investigated. Third, the charaterization of the weighted BMO spaces via the weak type two-weighted bounds of commutators for singular integrals and related operators are studied. Finally, the endpoint regularity for maximal funtions inluding the linear, multilinear setting and one-sided cases are considerd. These problems are basic and important ones in harmonic analysis, which will greatly enrich and develope the singular integrals and maximal function theory and apply to the investigation of PDE etc.

本项目研究奇异积分及相关算子在弱型端点空间的若干性态. 主要包括如下内容：1. 截断极大奇异积分，Littlewood-Paley g-函数，Marcinkiewicz 积分，向量值Hardy-Littlewood极大算子、Calderon-Zygmund奇异积分、分数次积分算子，单边奇异积分及相关算子弱型端点估计的常数问题；2. 奇异积分、分数次积分及极大函数交换子的弱型端点估计对BMO函数空间的刻画，同时考虑上述结果在多线性情形的推广及单边情形的类似；3.奇异积分及相关算子交换子的双权弱型估计对加权BMO函数空间的刻画，及单边算子交换子的类似；4. Hardy-Littlewood极大算子、分数次极大算子及其多线性推广和相应单边极大算子在端点Sobolev空间的有界性态. 这些问题是调和分析中基本而重要的课题，研究结果将丰富和完善奇异积分理论与极大函数理论，具有很大的应用潜力.

以奇异积分算子为核心的各类积分算子在函数空间的有界性研究一直是现代调和分析理论的中心内容，其在 Lebesgue 空间的有界性研究是最基本而重要的内容，经过六十多年的发展已取得十分丰硕的研究成果，但仍有一些本质问题有待探讨. 本项目围绕奇异积分及相关算子的弱型端点估计的常数问题、BMO函数等空间的刻画和极大函数的正则性问题等开展研究，也涉及奇异积分及相关算子的混合范数估计及积分方程和偏微分方程解的性态研究，取得了如下主要研究成果：(1). 建立了经典调和分析算子及其向量值算子的弱型极限行为，获得了其弱型端点估计的算子范数下界；(2). 建立了奇异积分算子交换子的弱型端点估计对BMO函数空间的刻画定理，给出了奇异积分及相关算子的交换子双权有界性对加权BMO与Lipschitz空间的刻画，强奇异积分和Marcinkiewicz积分交换子在加权Hardy空间的有界性态，以及奇异积分及相关算子交换子及其变差与振荡算子的加权紧性对CMO空间的刻画；(3). 建立了离散Hardy-Littlewood极大算子和多线性分数次极大算子的端点正则性；(4). 在满足相当弱的径向尺寸条件和球面尺寸条件下，建立了奇异积分及相关算子的径角混合可积性，获得了沿曲面和实解析流形的粗糙核奇异积分及相应截断极大算子和Marcinkiewicz算子在Lebesgue空间及其加权空间的有界性；(5). 建立了相关于Bessel算子和Schrodinger算子等的Riesz变换及其交换子和半群算子簇的振荡与变差不等式及其对BMO和CMO空间的刻画；(6). 获得了一类与Bessel位势相关的奇异积分方程（组）正解的可积性与渐近性估计，给出几类不可压阻尼欧拉方程和分数次阻尼波动方程的解的适定性、稳定性及衰减估计等.