调和分析中离散化类似的若干问题

This project is to study the discrete analogues of several classes of operators, including singular Radon transforms, maximal operators of spherical means, maximal functions of multilinear operators and multilinear fractional operators, in harmonic analysis. First, the Lp-boundedness and the endpoint estimates on the discrete singular Radon transforms and the twisted discrete singular Radon transforms with non-smooth kernels are considered. Second, the weighted Lp-boundedness with power weights as well as the corresponding estimates at or beyond the endpoints for the discrete maximal functions of spherical means are studied. Third, the variation inequalities on the families of the discrete singukar averaging operators along parabolic curves, the discrete parabolic Hilbert transforms and the discrete spherical means as well as the discrete singular Radon transforms are considered. Finally, the regularities on the Sobolev spaces for the multilinear maximal operators and the multilinear fractional maximal operators as well as their discrete analogues are investgated. These problems involve with the ergodic theory, the partial differential equations for periodic functions, the convergence of Fourier series, the number theory and probability. The methods employed include the classical analytic methods as well as techniques from number theory, including the circle method, theta functions, exponential sums and Diophantine (rational) approximations.

本项目研究奇异拉东变换、球面极大算子、多线性极大算子的离散化算子及其变差算子的若干调和分析问题. 主要研究内容为：离散奇异拉东变换和挠曲离散奇异拉东变换的(p, p)有界性与端点估计；离散球面极大算子的加幂权(p, p)有界性和加幂权端点估计，并探讨其加幂权端点外估计；离散抛物平均算子族、离散抛物Hilbert变换算子族、离散球面平均算子族和一般离散奇异拉东变换算子族对应的变差算子的(p, p)有界性及加权估计和端点估计；离散多线性极大算子的有界性和端点正则性估计；多线性分数次极大算子的正则性及其离散算子的有界性和端点正则性. 这些问题来源于调和分析，并与遍历理论、周期函数的偏微分方程理论、Fourier级数的收敛性和数论及鞅论等研究领域有着密切联系，其结果将丰富和完善奇异积分理论和极大函数理论，在上述相关研究领域有着重要应用. 这些问题的处理涉及调和分析方法和数论中的一些技巧的巧妙结合.

以奇异积分算子为核心的各类调和分析算子在函数空间的有界性研究一直是现代调和分析的中心内容之一，自上世纪九十年代以来其离散化类似也逐渐成为调和分析的研究热点，不仅处理方法有别于连续情形，其结果也可能与连续情形有着本质不同。本项目主要研究离散奇异拉东变换、离散极大算子和多线性极大算子、粗糙核奇异拉东变换及相关算子、振荡与变差算子在函数空间的有界性，也涉及奇异积分交换子的有界性与紧性、模空间的插值与嵌入理论及在积分方程解的性态研究，取得了如下主要研究成果：(1). 建立了离散奇异拉东分数次积分算子的lp-lq有界性，给出了离散分数次积分加权lp-lq有界性的sharp指标刻画特征；(2). 建立了离散中心与非中极大算子和分数次极大算子在端点空间l1与BV空间的有界性与连续性，离散中心与非中心多线性极大与分数次极大算子由乘积l1空间到BV空间的有界性与连续性，以及相应于奇异拉东变换的Hary-Littlewood型极大算子在Triebel-Lizorkin空间的有界性与连续性；(3). 在满足相当弱的径向尺寸条件和球面尺寸条件下，建立了粗糙核奇异拉东变换及相应的截断极大算子和Marcinkiewicz算子（包括沿Van der Corput曲线、多项式复合曲线，多项式复合映射、齐性映射及复合映射等）在Lebesgue空间、Tirebel-Lizorkin空间及Besov空间的有界性；(4). 建立了奇异积分及其交换子算子簇（包括相应于Schrodinger算子与Bessel算子的热半群、Poisson半群算子与Riesz变换算子）的振荡与变差算子在Lebesgue空间、Morrey空间及加权空间的有界性；(5). 建立了Riesz变换与Riesz位势交换子在加权Lebesgue空间紧性、Bessel环境下的Riesz变换交换子在Lebesgue空间的紧性、双线性分数次积分交换子在加权Morrey空间的紧性等的刻画特征，给出了双线性Fourier交换子及粗糙核Marcinkiewicz交换子紧性的充分条件； (6). 完整地建立了模空间的复插值理论，给出了加权模空间中乘积不等式及Young不等式成立的充分必要条件，完整地建立模空间与经典函数空间之间的嵌入理论；(7). 系统地研究了几类积分方程的正解性态，给出了其正解的径向对称性、单调性、最优可积区间和渐近性态等。