求解Basis Pursuit问题的数值优化方法

近年来，大型欠定线性方程组的稀疏解(Basis Pursuit)的问题及相关模型的研究成为医学、图像恢复、信号处理、地球物理和统计等领域的热门课题，合理应用传统数值优化方法有效求解这类问题，对现实生活和理论发展有着很好的指导意义，本立项研究内容主要有：1.转化BP问题为非负约束的二次优化模型，利用非线性共轭梯度法形式简单、数值有效的特点设计快速投影技巧。结合实际应用背景分析问题的稀疏结构，充分利用信息，降低计算量，给出快速算法，讨论收敛性。2.将信赖域算法与求解BP问题的标准算法相结合，信赖域半径更新修正目标函数的正则化参数，数值上克服原算法的退化性，而理论结果也是信赖域方法1-范数形式的补充。3.对求解BP问题的线性Bregman迭代正则化方,hjyu法引入计算效率优秀的改进技巧，如Barzilai-Borwein步、谱投影等，并将该结果推广应用于两项（光滑项与凸项）可分的广义BP问题。

稀疏优化问题及其应用是优化领域十分活跃的研究课题，其中最基本的数学模型就是大型欠定线性方程组稀疏解的问题（又称Basis Pursuit问题）。构造求解Basis Pursuit问题的数值优化方法不仅对最优化理论与方法的发展十分重要，也对机器学习、地球物理、信号处理和医学等领域的应用有着重要意义。本项目按预期计划研究了以下几方面的内容：1）对稀疏优化问题中出现的基本科学计算，提出了共轭分解算法，大幅降低了传统算法的计算量；同时利用广义块对称-三角(ST)分解为预条件，将鞍点问题转化为等价的对称正定系统。2）建立生物基因表达分析中的Basis Pursuit模型进行稀疏特征提取，与新兴的统计分类器结合，给出了一类有效的杂交分类方法。此外，基于关连分析与大边界学习的思想，本项目设计了新的高维数据降维方法。3）提出了更鲁棒、稀疏性更好的混合矩阵范数模型，又称联合Basis Pursuit模型，构造了统一的迭代算法，证明了收敛性，试验结果验证了该一致性算法的有效性。