某些等离子体中随机分数阶偏微分方程的理论研究

This project is an intersect project between stochastic PDE and fractional PDE. We mainly consider the stochastic fractional partial differential equations in plasma driven by Gaussian noise and Lévy noise, and pay attention to the well-posedness of solutions、ergodicity of invariant measure、existence and various approximations of invariant manifolds、existence of random attractors and inertial manifold and so on. We will mainly focus on the researches of stochastic Hasegawa-Mima equation, stochastic compressible quantum Navier-Stokes equations, stochastic nonlinear optical equations in plasma, and their corresponding fractional models. (1)For the stochastic fractional Hasegawa-Mima equations driven by Gaussian noise and degenerated Gaussian noise, we study the well-posedness and the regularity of solution, the long time behaviors of the associated random dynamical systems, such as the existence and uniqueness of invariant measure, the existence of invariant manifolds and their approximations.(2)We investigate the stochastic compressible quantum Navier-Stokes equations driven by Gaussian noise, and pay attention to the well-posedness and the semiclassical limits of solution.(3) We study the stochastic equations in plasma and nonlinear optical with random initial value. Firstly, we consider the well-posedness and regularity of the solution. Secondly, we discuss dynamic behaviors of the associated dynamical system.

本项目是随机偏微分方程和分数阶偏微分方程的交叉课题，主要研究高斯噪音及Lévy噪音驱动的等离子体中的随机分数阶偏微分方程组解的适定性、不变测度的遍历性、不变流形的存在性及不同的逼近形式、随机吸引子和随机惯性流形的存在性等问题。项目围绕随机Hasegawa-Mima方程、随机可压量子Navier-Stokes方程组、等离子体非线性光学方程及其对应的分数阶模型展开。重点研究:(1)退化和非退化高斯噪音驱动的随机整数阶及相应分数阶Hasegawa-Mima方程解的适定性、正则性以及生成的随机动力系统的长时间行为、不变测度的存在唯一性、不变流形的存在性及其逼近;(2)高斯噪音驱动的随机可压量子N-S方程弱解的适定性及随机动力系统的动力学行为，以及随机可压量子N-S方程收敛到随机N-S方程的极限问题;(3)具有随机初值的等离子体非线性光学方程解的适定性、正则性、相应动力系统的动力学行为。

本项目是等离子体中随机偏微分方程和分数阶偏微分方程的交叉课题，涉及到的非线性偏微分方程不仅具有强烈的物理背景，而且具有重要的理论价值和现实意义。主要研究了随机整数阶（分数阶）偏微分方程解的适定性、正则性，动力系统的长时间行为，如随机吸引子的存在性，上半连续性，有限分形维数，随机动力系统的Wong-Zakai逼近以及随机参数流形的存在性及逼近，退化噪音驱动的随机偏微分方程不变测度的存在性，并从数值计算的角度，深入研究了不变测度的逼近。对于一般的随机微分方程，分析了算法的收敛性和收敛精度。具体研究了Hasegawa-Mima方程、Swift-Hohenberg方程、分数阶FitzHugh-Nagumo系统、分数阶Ginzburg-Landau方程、分数阶Boussinesq方程等的随机吸引子的存在性及分形维数，不变测度的存在性，并给出了随机参数流形的存在性及其逼近；研究了描述等离子体运动的偏微分方程解的适定性、长时间行为，初边值问题等。具体包括高维四阶非线性Schrödinger方程、一维带导数的Schrödinger方程、量子Zakharov系统、Zakharov-Kuznetsov方程、Benjamin-Ono等方程的适定性，以及带有常时滞项的二维非自治不可压Navier-Stokes方程的有限分形维数、Hausdorff维数；本项目所研究的水波、光波、Langmuir波和等离子声波之间的相互作用的模型，如非线性Schrödinger方程、Kadomtsev-Petviashvili方程、广义KdV-mKdV方程等，都是研究怪波现象、解释怪波主要的模型。因此，本项目的另外一个重要的研究方向是应用 Hirota双线性方法、Bӓcklund变换、同宿测试法、G’/G方法及孤子之间的相互作用等方法，对不同模型具体的解性质进行分析和讨论，得到相关非线性现象的数学物理的解释。