随机分数阶偏微分方程生成随机动力系统的动力学研究

The fractional partial differential equations have distinctively physical background and important research prospects. The study of the fractional partial differential equations get the rapid development in recent. But the research of the stochastic fractional partial differential equations are still preliminary. There are still many problems to be solved. In this project, we study the fundamental theory of random dynamical systems generated by typical stochastic fractional partial differential equations. The project focuses on stochastic fractional diffusion equation, stochastic fractional Boussinesq equation, stochastic fractional modified Boussinesq approximate equation, stochastic fractional quasi-geostrophic equation and stochastic fractional long wave-short wave equations driven by Gaussian noises, fractional Brownian motion and Lévy noises, respectively. We study the well-posedness and regularity of the solution, the generation of random dynamical systems, existence and uniqueness of invariant measure and ergodicity, the existence of random attractor and random inertial manifold of these stochastic fractional partial differential equations. We pay more attention on the random dynamical systems in some fractional Sobolev space and discuss the ergodicity and compactness of the cocycle, which is the key and fundamental part of the stochastic fractional partial differential equations by using dynamical systems approach. In the study of the project, we will apply the dynamic system, partial differential equations, stochastic analysis and other knowledge. So the study of the project has importantly theoretical significance and application value.

分数阶偏微分方程具有鲜明的物理背景和重要的研究前景，在最近有了快速发展，但对随机分数阶偏微分方程的研究还是初步的，尚有很多问题需要解决。本项目研究随机分数阶偏微分方程生成的随机动力系统的基本理论，包括高斯噪声、分数布朗运动、Lévy噪声驱动的随机分数阶扩散方程、随机分数阶Boussinesq方程、随机分数阶修正Boussinesq近似方程、随机分数阶准地转方程和随机分数阶长短波方程解的适定性和正则性、随机动力系统的生成、不变测度的存在唯一性、遍历性、随机吸引子和随机惯性流形的存在性。在分数阶Sobolev空间中研究随机动力系统，讨论其遍历性和随机流（Cocycle）的紧性问题，这是利用动力系统方法研究随机分数阶偏微分方程最基础性的部分。本项目综合动力系统、偏微分方程、随机分析等多门学科知识，所研究的问题具有重要理论意义和应用价值。

分数阶偏微分方程具有鲜明的物理背景和重要的研究前景，在最近有了快速发展。本项目研究随机分数阶偏微分方程生成的随机动力系统的基本理论，以及分数阶偏微分方程、非线性偏微分方程等解的适定性。第一，本项目首先研究了分数阶偏微分方程方程解的适定性及其无穷维动力系统。系统研究了自治和非自治分数阶长短波方程解的适定性及其无穷维动力系统。研究了非线性分数阶Schrödinger方程组驻波的存在性以及稳定性。研究了分数阶Schrodinger-Burgers-KdV耦合方程解的适定性及正则性。研究了具三参数的分数阶二次积分方程。研究了分数阶脉冲混合微分方程缓和解的存在性。第二、研究了随机分数阶偏微分方程的随机动力系统。研究了具周期边界条件的随机分数阶长短波方程随机吸引子的存在性。研究了随机分数阶反常扩散方程解的渐近行为。研究了在多重噪音驱动下的随机非牛顿流的H^2 和H^1随机吸引子的存在性。研究了随机Swift-Hohenberg方程的动力学行为。研究了随机分数阶复Ginzburg-Landau方程的长时间行为。研究了随机半线性退化抛物方程在L2（RN）上随机吸引子的存在性和上半连续性。第三、研究了几类非线性偏微分方程解的存在性。研究了拟线性波动方程Neumann外问题经典解的几乎整体存在性。研究了测度链上动力学方程解的存在性。第四、研究了函数空间和分数阶 Laplace 算子的调和分析理论及应用研究；研究了信道编码、压缩感知方法和有限域上的调和分析理论及应用。研究了灰色预测模型及其应用。本项目综合动力系统、偏微分方程、随机分析、调和分析等多门学科知识，所研究的问题具有重要理论意义和应用价值。项目组成员共发表期刊论文 39篇，其中被SCI收录30篇，发表会议论文1篇，在科学出版社出版专著1部。