仿射李（超）代数及相关李（超）代数的结构与表示理论

The structure and representation theory of infinite-dimensional Lie (super)algebras plays an important role in many fields of mathematics and physics. Many important infinite-dimensional Lie (super)algebras are closely related to affine (super)algebras. In this project we will focus on studying the structure and representation theory of affine (super)algebras and related (super)algebras: the Drinfel’d realizations and representations of quantum affine superalgebras; the structures of some Lie (super)bialgebras; structures of C1-generating vertex (super)algebras; the structure and representation theory of some important infinite-dimensional Lie (super)algebras (which are closely related to (super)Virasoro algebras), including derivation algebras, automorphism groups, cohomology groups, weight modules and non-weight modules.

无限维李（超）代数的结构与表示理论在数学和物理学的相关领域中起着非常重要的作用和影响。多数重要的无限维李（超）代数都与仿射李（超）代数密切相关。本项目主要研究仿射李（超）代数及相关李（超）代数的结构与表示理论： 研究量子仿射超代数的 Drinfel'd实现及其表示；研究对偶李（超）双代数的结构；研究 C1 生成的顶点（超）代数的结构； 研究与（超）Virasoro 代数密切相关的几类重要的无限维李（超）代数的结构与表示，包括导子代数、自同构群、上同调群、权模及非权模等。

本项目主要研究了仿射李（超）代数及相关李（超）代数的结构与表示理论。项目执行期间，得到了下列结果。（1）研究了退化的一般线性量子仿射超代数的RTT实现、Drinfeld实现及两个实现之间的关系。(2) 研究了无限维李双代数的对偶李双代数的结构，给出了Loop与Current-Virasoro型李双代数、扭的Schrödinger-Virasoro型李双代数、Heisenberg-Virasoro型李双代数及W(2,2)型李双代数等的对偶李双代数的结构。（3）研究了C1生成顶点代数V的生成元和关系，并给出一有效的方法来计算V的Zhu代数A(V)。（4）给出了一般顶点算子代数V的可容许模M的An(V)-Am(V)-双模An,m(M)结构，讨论了它的性质，利用双模进一步研究了一般顶点算子代数表示的Fusion rule理论。（5）对李代数W(2,2)和W(2,2,2)，得到了它们的Verma模的行列式公式，进一步刻画了Verma模的子模滤过，不可约模的特征标等。（6）研究了扭的N=1Schrödinger–Neveu–Schwarz李代数的导子代数、自同构群与泛中心扩张、不可分解的中间序列模和不可约权模。给出了Klein-bottle李代数的单Whittaker模的分类，并对其任意Whittaker模进行了刻画。（7）证明了广义超W代数的超双代数结构都是三角余边缘的；给出了形变Heisenberg-Virasoro代数的李双代数是三角余边缘的充分必要条件。（8）计算了超Schrödinger代数系数为其平凡模及有限维不可约模的同调群的维数。进一步利用对偶性，给出了相应的上同调群的维数。 此外，还研究了π群的强半格及一类非交换环上的Jacobson-Bourbaki对应定理。