量身定做的有限点方法与奇异摄动问题

在科学和工程领域中，我们经常遇到带有小参数的微分方程定解问题，特别是高阶微商项带小参数的微分方程定解问题尤其吸引人们的注意，它广泛地出现在科学技术的各个领域里，例如，对流占优的热传导问题，高雷诺数不可压粘性流体的流动等。这类高阶微商项带小参数的微分方程定解问题通常被称为奇异摄动问题。奇异摄动问题的解通常带有边界层或者内层，即解在这些狭小的空间附近变化十分剧烈。奇异摄动问题解的这些特性给它的数值求解带来了本质性的困难，通常要求网格的尺寸远远小于小参数，才能得到满意的数值近似解。为了提高计算效率、减少计算量，人们提出了各种网格加密的方法。我们将在这个项目中用一种新的思路求解奇异摄动问题的数值解，即量身定做的有限点方法。我们在构造问题的离散格式时充分了解问题的性质，并将问题解的特点在离散格式中体现出来。我们期望设计一种对小参数一致收敛的计算方法，并能在粗网格上得到高精度近似解。

本项目按照申请书规定的任务和要求，经过三年的努力圆满地完成了研究计划。取得的主要成果有三项： .1. 对于二阶椭圆型方程的奇异摄动问题构造出了有效的量身定做的有限点格式（ Tailored Finite Point Scheme ）。在每个不同的网格点上根据问题解的性质选取不同的基函数对问题进行离散化。我们得到了十分有效的计算格式，在粗网格上 （ 网格尺度 h 远远 小参数 ）, 数值结果仍然能捕捉到问题解的边界层。进一步我们得到了数值解的误差分析，在粗网格上给出了数值解的误差估计。.2. 本项目研究了一类四阶椭圆型方程奇异摄动问题的数值解。构造出了求解四阶椭圆型方程奇异摄动问题的一类量身定做的有限点格式（ Tailored Finite Point Scheme ）。在粗网格上能够很好地捕捉到问题解的边界层，数值计算表明当小参数很小，时数值近似解有二阶收敛精度。在此基础上我们构造了一种迭代算法，每一步及仅需要分别求解两个二阶问题。特别当小参数很小时迭代方法的收敛十分快。进一步对于一种规则的区域我们给出迭代方法收敛性的证明。.3. 发展了多尺度量身定做的有限点方法 （ Multicale Tailored Finite Point Method ），成 .功地将其应用求解一类多尺度二阶椭圆型问题。.另外在无界区域上非线性偏微分方程的数值解，不适定问题的数值解等研究方向上获得了进一步的研究成果。专著 “ Artificial Boundary Method ” 由 Tsinghua University Press and Springer 出版（ 作者 Houde Han & Xiaonan Wu， 2012 国内版， 2013 国际版）。共发表（和被接受）SCI 学数论文 9 篇。毕业博士生两名。