计算电磁学积分方程的数值精度研究与改进

In computational electromagnetics, the widely used surface integral equations can be categorized into the Fredholm integral equations of the first and the second kinds. It is a common observation among the international academia that the first-kind integral equations always have a very good numerical accuracy, but a rather poor convergence in an iterative solution; while the second-kind integral equations usually have a fast convergence rate in an iterative solution, but far less accurate numerical solutions than their first-kind counterparts. In the past decade, much effort has been made to improve the numerical accuracy of the second-kind integral equations world widely. However, there is still no effective resolution to this accuracy issue, and no conclusive understandings on the numerical accuracy of these two kinds of integral equations are achieved. ..In this research, we will start our investigation from the mathematical properties of the integral equation operators. By the thorough analysis of the error sources of the numerical solutions to the integral equations, we will locate and systematically remove the bottlenecks which limit the improvement of the numerical accuracy. The objective of this research is to improve the numerical accuracy of the second-kind integral equations in both the perfect electric conductor and the dielectric cases, so that they can be solved as accurately as their first-kind counterparts. In the meantime, we will also study the accuracy issue related to the first-kind integral equations, and propose the accuracy improving approaches to them. Eventually, several important conclusive understandings and remarks related to the numerical accuracy issue of these two kinds of integral equations will be drawn.

在计算电磁学积分方程方法中被广泛使用的面积分方程可以被分为第一类和第二类Fredholm积分方程。长期以来，计算电磁学界对这两类方程的普遍认识是，第一类积分方程具有很高的数值求解精度，但是迭代收敛性能很差；而第二类积分方程具有很快的迭代收敛速度，但是数值精度却很差。近十余年来，国际学术界一直致力于研究有效提高第二类积分方程数值精度的方法。然而，对于这一问题，至今仍然没有有效的处理方法，第二类积分方程至今仍然无法达到第一类积分方程的求解精度。同时，对于影响第二类积分方程数值求解精度的原因也仍然众说纷纭，没有公认的结论性认识。本项研究，将从积分方程的算子特性出发，通过分析各个算子的数值误差来源，找到限制积分方程求解精度的瓶颈，并对其进行改进，以使第二类积分方程的数值精度与第一类积分方程相当。同时也对第一类积分方程的求解精度进行改进，并提出稳定的误差检验方案。

电磁仿真与模拟在科学研究和工程设计中起到越来越不可替代的作用。与基于微分方程的计算电磁学方法相比，基于表面积分方程的计算方法，由于可以有效避免网格色散误差和网格截断误差，而被广泛使用于电磁辐射与散射的计算问题中。从数学上来看，这些表面积分方程可以被分为第一类和第二类Fredholm积分方程。一般认为，第一类积分方程具有很高的数值求解精度，但是迭代收敛性能很差；而第二类积分方程具有很快的迭代收敛速度，但是数值精度却很差。国际学术界虽然致力于研究提高第二类积分方程数值精度的有效方法，但是却一直没有能够使第二类积分方程达到第一类积分方程的求解精度。同时，对于影响第二类积分方程数值求解精度的原因也众说纷纭，没有公认的结论性认识。..本项目研究，针对第二类积分方程低精度的问题展开研究，取得了以下三个方面的成果。第一，从积分方程算子的数学特性出发，通过分析各个算子在不同数值离散条件下所带来的计算误差，找到了数值误差的来源和限制积分方程求解精度的瓶颈。针对这些数值精度的瓶颈，对数值离散和求解的方法进行了有针对性的改进，使第二类积分方程的数值精度达到甚至超过了第一类积分方程的数值精度，同时保留了第二类方程的快速迭代收敛特性。第二，研究了如何将改进精度后的第二类积分方程与第一类积分方程相结合，利用混合积分方程能够有效避免电磁伪内谐振的特性，求解电大尺寸电磁散射和辐射问题的方法。在此基础上，研究了多层快速多极子方法的精度提高策略。通过对多极子方法中基/权函数的谱空间展开数进行研究，让第二类积分方法的多层快速多极子解达到与对应的矩量法解相同的数值精度，为求解电大尺寸问题打下了基础。第三，使用改进精度后的积分方程结合快速算法对复杂电磁问题进行了求解。为了模拟复杂的介质材料的电磁散射与辐射，使用有限元与边界元相结合的方法，一方面利用有限元方法模拟复杂的非均匀介质材料，另一方面使用边界元方法作为有限元求解区域的截断边界，有效地降低了有限元区域的大小，改进了计算精度，提高了计算效率。针对有限元-边界元方法离散矩阵条件数差的问题，提出了新型预条件方法，极大提高了迭代收敛速度。同时利用图形处理单元（GPU）对算法进行了并行化处理，让计算效率得到了几十倍的提高。